Un problema sobre número de funciones y homomorfismo.

Question

Estoy tratando de resolver este problema.

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Cómo muchas de las funciones $f: \Bbb Z_{10}\rightarrow \Bbb Z_3$ están allí, que $|f^{-1}([0]_3)| = 3$ o $|f^{-1}([1]_3)| = 4$? Cuántos de ellos son tales que la restricción para el grupo multiplicativo de a$Z_{10}$ es un homomorphism (básicamente el dominio es el grupo multiplicativo de a$\Bbb Z_{10}$ y el codominio el grupo multiplicativo de a$\Bbb Z_{3}$).

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Comienzo a partir de la suposición de que no estoy seguro de que entiende el problema y que tengo algunas dificultades para la segunda pregunta. De todos modos, este es mi razonamiento. Cualquier ayuda es bienvenida.

Desde $|f^{-1}([0]_3)| = 3$ sabemos que sólo tres elementos en $\Bbb Z_{10}$ están asociados por la función a $[0]_3$. Así que excluir estos tres elementos, puesto que ya están asociados y para la definición de la función, no se puede asociar más de ellos. Yo excluir $[0]_3$ porque de lo contrario, si yo pudiera asociar otros elementos $|f^{-1}([0]_3)| \neq 3$. Así que, básicamente, ahora he a$7$ elementos de $\Bbb Z_{10}$ que puedo asociar a $1,2 \in \Bbb Z_3$. Por esta razón, no se $2^7$ posible función. Mismo razonamiento para $|f^{-1}([1]_3)| = 4$. Es eso correcto?

Para la segunda pregunta, he encontrado en internet que el número de homomorphism entre dos grupos cíclicos es el MCD de su orden. Primero de todo, puede que alguien me explique por qué el MCD? Es una información que echo de menos desde el estudio de la teoría de grupo o que he dejado de hacer. Así que necesito saber el orden de los dos grupos multiplicativos. Yo uso el de Euler totient función para hacer esto y puedo obtener el $4$ para el grupo multiplicativo de a$\Bbb Z_{10}$ e $2$ para $\Bbb Z_3$. Ahora $gcd(2,4) = 2$ así que hay dos homomorphism (?).

Es mi razonamiento correcto?

Answer 1

Para el primer problema con el que su razonamiento no es correcto. Contar sólo las funciones para las que la inversa de la imagen de la clase $[0]_3$ ha $3$ elementos, primero es necesario considerar que los elementos, lo que da $\binom{10}3$ opciones y, a continuación, cómo asignar el resto de los $10-3=7$ elementos para el resto de $2$ clases, que se puede hacer en $2^7$ modales; $\binom{10}32^7=15360$ funciones. De igual manera para la inversa de la imagen de la clase $[1]_3$ a ha $4$ elementos, hay $\binom{10}42^6=13440$ funciones. Pero la pregunta es cómo muchas de las funciones tienen una o la otra, por lo que la necesidad de algunos de inclusión-exclusión. El número de funciones que satisfacen tanto las limitaciones es que el trinomio coeficiente de $\binom{10}{3,4,3}=4200$ (ya que conocer la inversa de imágenes de dos clases de fuerzas lo que queda para ser la inversa de la imagen de la tercera clase de $[2]_3$), y las funciones se cuentan dos veces si sólo se toma la suma de los números de las dos condiciones de forma individual, por lo $4200$ necesidades que se restará de la suma, dando como resultado final $15360+13440-4200=24600$.

Para el segundo problema que, evidentemente, necesario para el estudio de la multiplicación de los grupos en cuestión un poco al principio. Usted parece asumir que un grupo multiplicativo de algunas anillo de $\def\Z{\Bbb Z}\Z/n\Z$ es siempre cíclico; esto no es cierto (por ejemplo falla por $n=8$). Resulta ser cierto, aunque para $n=3$ (ya que el grupo tiene orden de $2$) y para $n=10$ (los poderes de $3$ siendo sucesivamente $1,3,9,7,1,\ldots$ modulo$~10$ y agotar las clases que forman el grupo multiplicativo). El segundo significa un homomorphism del grupo multiplicativo modulo$~10$ está totalmente determinado por la imagen de la clase $[3]_{10}$, y es fácil ver que ambos elementos del grupo multiplicativo modulo$~3$ son candidatos para esa imagen, así que hay $2$ tal homomorphisms. Esto no significa, sin embargo, que hay sólo dos funciones cuya restricción es un homomorphism, dado que la restricción no dice nada acerca de las imágenes de la $10-4=6$ clases que no están en el grupo multiplicativo modulo$~10$, y para cada uno de ellos, podemos elegir cualquiera de las $3$ clases modulo$~3$ como imagen. La respuesta al segundo problema es, por tanto, $2\times3^6=1458$.