La mayoría de las fuentes dan conjunto no-borel en el espacio euclidiano. Me pregunto si hay una manera de construir tales conjuntos en un espacio métrico arbitrario. En particular, ¿hay un conjunto no-borel en $C[0,1]$ todas las funciones continuas en $[0,1]$ donde las métricas son supremas?
Respuestas
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Sí, de hecho hay ejemplos de conjuntos de Borel en $C[0,1]$ de todas las funciones continuas de $[0,1]$ a $\mathbb{R}$ equipado con el uniforme de la norma. Es decir, el subconjunto de todas continua diferenciable funciones no es un conjunto de Borel.
Este resultado puede encontrarse en: Mauldin, R. Daniel. El conjunto de continua diferenciable funciones. Pacífico J. Math. 83 (1979), no. 1, 199--205.
En lo que respecta a la pregunta sobre si es posible construir y no de los conjuntos de Borel en arbitraria métrica espacios, entonces la respuesta es no. Considerar el espacio métrico $(\{x,y\},d)$ equipado con la métrica discreta $d:\{x,y\}\times \{x,y\} \to \{0,1\}$ dada por $$ d(x,y)=1, \quad d(x,x)=d(y,y)=0. $$ El Borel sigma álgebra en este espacio métrico es dada por $$ \{\{x\},\{y\},\{x,y\},\emptyset\} = \mathcal{P}(\{x,y\}) $$ donde $\mathcal{P}(\{x,y\})$ es el powerset de $\{x,y\}$, por lo que todos los subconjuntos de Borel medible conjuntos.
ManuelSchneid3r
Puntos
116
Martin dio un ejemplo específico en $C[0,1]$ y mostró que el ejemplo general es negativo. Permítanme argumentar que una amplia clase de espacios tiene una respuesta positiva:
En cualquier segundo espacio topológico contable, solo hay continuos conjuntos de Borel. Como el espacio con al menos muchos puntos tiene más de muchos subconjuntos, esto significa que cada segundo espacio contable con muchos puntos tiene subconjuntos que no son Borel .
