$S_n=X_1+\dots+X_n$. Esta prueba no funcionará sin la suposición de que $X_i$ es de valores enteros. Vamos
$$
\begin{array}{cc}
\alpha=\inf \{n>0:S_n>0\} &&\beta=\inf \{n>0:S_n<0\}\\
\alpha'=\inf \{n>0:S_n\ge 0\} &&\beta'=\inf \{n>0:S_n\le 0\}
\end{array}
$$
El uso de Wald de la ecuación, se puede demostrar que
$$
E[\alpha]=E[\beta]=\infty.
$$
De lo contrario, hubieran $E[S_\alpha]=E[X_1]E[\alpha]=0\cdot E[\alpha]=0$, contradiciendo $S_\alpha>0$.
El siguiente es el real parte difícil. Para cada una de las $n\ge 0$, definir $I_n$ a ser el índice de $i\in\{0,1,\dots,n\}$ para que $S_i$ se reduce al mínimo, con lazos de ir a la última de ese índice. Yo reclamo que
$$
P(I_n=m)=P(\alpha>m)P(\beta'>n-m).
$$
Para ver esto, observe que $\{I_n=m\}$ es determinado por la primera $n$ medidas $X_1,\dots,X_n$ del proceso, mientras que $\{\alpha>m\}$ es determinado por la primera $m$ pasos y $\{\beta'>n-m\}$ por el primer $n-m$ pasos. Además, $\{I_n=m\}$ se produce por $(X_1,\dots,X_n)$ si y sólo si $\{\alpha>m\}$ se produce por $(X_m,X_{m-1},\dots,X_1)$ (nota de la reversión!) y $\{\beta'>n-m\}$ se produce por $(X_{m+1},X_{m+2},\dots,X_n)$. $\square$
La rentabilidad de la que difícil Lema es que podemos mostrar
$\alpha'$ e $\beta'$ son casi seguramente finito.
Empezamos con $$
1=\sum_{m=0}^n P(I_n=m)=\sum_{m=0}^n P(\alpha>m)P(\beta'>n-m)
$$
Ahora, vamos a $n\to\infty$. Cada sumando $ P(\alpha>m)P(\beta'>n-m)$ converge a $P(\alpha>m)P(\beta'=\infty)$, por lo que tenemos
$$
E[\alpha]=\sum_{m=0}^\infty P(\alpha>m)=\frac1{P(\beta=\infty)}
$$
Nosotros ya probamos $E[\alpha]=\infty$, por lo que esto muestra que $\beta'$ es casi sin duda finitos. Lo mismo va para $\alpha'$.
Finalmente,
$S_n$ es positivo y negativo infinitamente a menudo.
Como $\alpha'$ es la primera vez después de la $0$ el proceso es no negativa, definimos $\alpha'(k)$ inductivamente a ser la primera vez después de la $\alpha'({k-1})$ que $S_n\ge S_{\alpha'({k-1})}$. Ahora, la secuencia de pasos
$$
X_{\alpha+1},X_{\alpha'(2)+1},X_{\alpha'(3)+1},\dots
$$
son iid distribuido como $X_1$. Asumiendo $X_1$ es trivial, estos tienen un valor distinto de cero probabilidad de ser positivo, por lo que con probabilidad de $1$, infinitamente muchos de ellos son positivos. Si $X_{\alpha'(k)+1}$ es positivo, $S_{\alpha'(k)+1}=S_{\alpha'(k)}+X_{\alpha'(k)+1}>0$. Por lo tanto, hay infinitamente muchas veces de la forma $S_{\alpha'(k)+1}$ que son mayores de $0$. Lo mismo va para los tiempos donde a $S_n<0$.
