Valor mínimo

Question

Si $z_{1}\;,z_{2}$ son dos complejos de número de $(|z_{1}|\neq |z_{2}|)$ satisfactorio

$\bigg||z_{1}|-4\bigg|+\bigg||z_{2}|-4\bigg|=|z_{1}|+|z_{2}|$ $=\bigg||z_{1}|-3\bigg|+\bigg||z_{2}|-3\bigg|.$Mínimo de $\bigg||z_{1}|-|z_{2}|\bigg|$

Probar: Vamos a $|z_{1}|=a$ e $|z_{2}|=b$ e $a,b\geq 0$ e $a\neq b$

Por lo $$|a-4|+|b-4|=|a|+|b| = |a-3|+|b-3|.$$

Deje $A(0,0)$ e $B(3,3)$ e $C(4,4)$ e $P(a,b)$

A continuación, $PA=PB=PC.$ y tenemos que encontrar a $|a-b|$

así que no entiendo cómo puedo concluir que,

podría alguien por favor me explique

Gracias

Answer 1

A partir de la igualdad

$$|a-4|+|b-4|=a+b = |a-3|+|b-3|$$

tenemos que $a,b\ge 3$ no es posible.

Así, supongamos $a\ge 3, b\le 3$. Entonces

$$a+b = a-3+3-b=a-b$$ which is only possible if $b=0.$ En tal caso

$$|a-4|+4=a =a-3+3=a.$$ This is only possible if $un\ge 4.$

Ahora suponga $a,b\le 3.$ , En tal caso,

$$4-a+4-b=a+b=3-a+3-b.$$ Pero no hay ninguna solución.

Así, $a\ge 4$ e $b=0.$

Debido a la simetría podemos tener $b\ge 4$ e $a=0.$

Answer 2

El mínimo para $|a-b|$ es a $a=b$

$$ |a-c|-a = |b-c|b \Rightarrow a+b=c $$

de modo que las intersecciones de

$$ a+b = 4 \cap a = b \Rightarrow a = 2\\ a+b = 3 \cap a = b \Rightarrow a = \frac 32 $$

así que el mínimo es de a $a = b = \frac 32$ o $a = b = 2$ que es $0$

Conectados en red $a+b=4$ azul $a+b=3$ y en azul $a = b$