Probabilidad de que un 5 ocurra primero

Question

Supongamos que el par de rodillos de dados hasta una suma de 5 o 7 aparece. ¿Cuál es la probabilidad de que una suma de 5 ocurra primero?

Probar:

Deje $A$ ser el caso de que una suma de $5$ se produce en la i-ésima rollo y $B$ que la suma de 7 se produce en la i-ésima tirada. Estamos interesados en el caso de $A | A^c \cup B^c $. Tenemos

$$ P(A | A^c \cup B^c) = \dfrac{ P(A \cap (A^c \cup B^c))}{P(A^c \cup B^c)} = \frac{P(A \cap B^c)}{1 - P(A \cap B)} = \frac{P(A \cap B^c)}{1-0} = P(A \cap B^c)$$

Es este enfoque correcto?

Answer 1

Todos los eventos se pueden ignorar hasta que se logre uno en el espacio del evento deseado. Por lo tanto, puede considerar esto el espacio muestral completo:

PS

Ahora aplicas la ley de la probabilidad clásica.

Answer 2

Un limpiador de enfoque sería considerar el experimento hasta que una suma de $5$ o $7$ se rodó en algún paso, decir $n$. (Tenga en cuenta que $n<\infty$ casi seguramente.) A continuación, el evento $A$ es que $5$ fue rodada y $B$ es que $7$ que se rodó, y usted necesita $$ \mathbb{P}[Un|A \cup B] $$ donde $A$ e $B$ son distintos...

Answer 3

Guía:

• Calcular la probabilidad de $7$ aparece, llame a $q$.
• Calcular la probabilidad de $5$ aparece, llame a $p$. Estamos interesados en

$$\sum_{i=1}^\infty (1-p-q)^{i-1}p$$

Comentario acerca de su intento:

Estás tratando de usar algunos índices para denotar $i$-ésima tirada?

Answer 4

Hay tres enfoques a este problema, que han conducido a los puntos de vista contradictorios sobre lo que cuenta como una buena solución.

La primera es suponer que es "evidente" que usted puede ignorar cualquier tiro que no se traduce en un 5 o un 7. Esto es obvio para mí, como tengo una licenciatura en Matemáticas y evidente para muchos de los lectores, pero no es en absoluto obvio para la mayoría de las personas que no han realizado un curso en la probabilidad, y no es un asunto trivial para probar.

El segundo método es para no hacer esta suposición. Hay al menos dos posibilidades. Puede utilizar una infinita suma, como algunos han mostrado, que obtiene un poquito complicado, o puede utilizar un enfoque iterativo. Definir R(i) es la probabilidad de obtener un 5 antes de un 7, a partir de la ith tiro. Esto es como caminar en los que se ejecute en el inicio de la ith tiro. Se puede suponer que no ha habido un 5 o un 7 hasta el momento como si hubiera sido la carrera habría terminado. (Por lo que R(1) es la respuesta que buscamos.) Sabemos que las posibilidades en este lanzamiento son

P(5) = 4/36, P(7) = 6/36 y P(nada más) = 26/36,

así

R(i) = 4/36 + R(i+1) . 26/36

A continuación, observamos que este es un proceso de Markov - que es la probabilidad de un evento ahora no es afectado por nada de lo que ha sucedido en el pasado, incluyendo el número de lanzamientos que ha habido, por lo que R(i) es el mismo para todos i - digamos que es R, y hemos

R = 4/36 + 26/36 R

R (1 - 26/36) = 4/36

R = 4/10 = 2/5

Pero la más satisfactoria respuesta es para demostrar el principio que subyace en el "obvio" que la reclamación. A continuación, ha aprendido algo y todos los problemas similares será más fácil en el futuro. Una vez más, existen al menos dos métodos como puede generalizar el método de la sumación o el método iterativo.

Answer 5

Creo que lo estás complicando. No necesitas sumas infinitas. Si sacas cualquier cosa menos un 5 o un 7, puedes ignorarlo, básicamente es como si no hubiera pasado. Por lo tanto, todo lo que tienes que hacer es decir, dado que es un 5 o 7, cuál es la probabilidad de que sea un 5. Lo que es igual a

$(1/9)/(1/9 + 1/6)$

Que es de aproximadamente 0,4 por lo que el 40%. Un problema similar, pero un poco más difícil, es encontrar la probabilidad de ganar un juego de Craps si está interesado.