Demuestre que$\sum_{k=0}^\infty \cos(k^2t)$ difiere para todos$t \geq 0$

Question

Creo que la serie no converge porque la secuencia$\cos(k^2t)$ no converge a$0$. Sin embargo, no puedo probar este último hecho. He intentado buscar una subsecuencia de$k^2t$ tal que para cada$k$ hay un entero$z$ tal que$z\pi-\frac{\pi}{4} \leq k^2t \leq z\pi+\frac{\pi}{4}$, pero no he podido mostrar tal la secuencia existe También probé algunos enfoques utilizando la fórmula de Chebyshev, los puntos en$\mathbb{R}^2$ y la expansión de Taylor para$\cos(x)$, todos sin éxito.

Answer 1

Si$\cos (k^2 t)$ es pequeño, entonces$k^2 t$ está cerca de un múltiplo impar de$\frac \pi2$. Pero entonces,$(2k)^2 t$ está cerca de un múltiplo par de$\frac\pi2$, y$\cos((2k)^2 t)$ será grande.

Por lo tanto, nunca habrá un entero$N$ tal que, para todos los$k > N$,$|\cos(k^2t)|$ es menor que, digamos,$0.1$. Cada vez que$\cos(k^2t)$ alcanza un valor tan pequeño,$\cos((2k)^2 t)$ será correspondientemente grande: al menos$\cos(4 \arcsin 0.1) =0.9208$.

Answer 2

Es conveniente considerar$2 \pi t$ en lugar de$t$:

PS

• Si$$ \sum_{k=0}^{\infty} \cos(2 \pi k^2 t). $, entonces el sumando no es idénticamente cero y es periódico en$t \in \Bbb{Q}$. Por lo tanto,$k$ no converge a$\cos(2 \pi k^2 t)$ y, por lo tanto, la serie diverge.

• Si$0$, entonces es bien sabido que$t \notin \Bbb{Q}$ se distribuye equitativamente en$k \mapsto k^2 t \text{ mod } 1$. Una vez más,$[0, 1]$ no converge a$\cos(2 \pi k^2 t)$ y, por lo tanto, la serie diverge.

Answer 3

$A_T:=\{ s|s=k^2t\ {\rm mod}\ 2\pi$ y$k\leq T \}$. Si$T$ es más grande, entonces$A_T$ se distribuirá de manera casi uniforme en$[0,2\pi)$:$$ \lim_T\ \frac{\sharp \ [a,b]\cap A_T }{\sharp \ [A,B]\cap A_T} =\frac{b-a}{B-A}$$ for all $a [a, b], \ [A, B] \ subconjunto [0,2 \ pi] $