Esto no es para hacer la tarea, solo un pensamiento.
Digamos que hay $n$ personas donde $n \leq 365$ (no estoy del todo seguro de cómo abordar el problema si $n > 365$ y preguntar sobre la que aparece a continuación). ¿Cuál es la probabilidad de que haya exactamente dos pares con la misma fecha de nacimiento, y cada uno de los pares tienen una diferente cumpleaños (por ejemplo, Alice y Bob compartir un cumpleaños, el 8 de junio, Charlotte y Dylan compartir un cumpleaños en el 1 de diciembre.), suponiendo que los cumpleaños se distribuyen uniformemente y tomamos un completamente al azar de la muestra de $n$ de la gente.
Mi intento de resolver es el siguiente:
El espacio muestral se representa por la $365^n$ diferentes combinaciones de cumpleaños para el $n$ de la gente.
El número de maneras en que exactamente dos pares de compartir un cumpleaños y el cumpleaños de cada par de acciones es diferente, está dada por $n \choose 2$$(365)$$n - 2 \choose 2$$(364)(\frac{363!}{(363-(n-4))!})$
La explicación es que en primer lugar se escoge a dos personas tengan la misma fecha de nacimiento, luego otros dos individuos a distintos misma fecha de nacimiento de los restantes 364 días, y, finalmente, se han resto de la $n-4$ de los individuos tienen diferentes fechas de cumpleaños.
La solución es dada por el numerador dividido por el espacio muestral (tiene problemas con el uso de látex formato con el que elige, pido disculpas).
Un par de preguntas:
- Es la solución correcta para $n < 365$?
- Si trato de pensar acerca de si $n > 365$ la combinatoria voy a usar en la última parte de la $\frac{363!}{(363-(n-4))!}$ no tiene sentido ya, así que estaba pensando en cómo podría utilizar un enfoque diferente. Alguien insinuó que yo podría intentar calcular la probabilidad condicional de que no es exactamente una pareja que comparte un cumpleaños, dado que me quite de una pareja que comparte un cumpleaños. Me estoy imaginando la distribución como una curva en forma de campana de algún tipo, pero estoy abrumado en los detalles de cómo se tienen en cuenta todos los casos.
Agradecería cualquier sugerencias o consejos!
