Sé que, para cualquier conjunto convexo$S$, hay al menos un hiperplano de apoyo en cada punto en$B$, el límite de$S$. Además, puede haber más de un hiperplano de soporte en el mismo punto en$B$.
Deje que$S$ sea un$n$ - conjunto convexo dimensional en$\mathbb{R}^n$,$X=\{x \in B \mid S$ tiene más de un hiperplano de soporte en$x\}$.
Estoy buscando algunos resultados sobre el tamaño de$X$. Mi conjetura es que debe ser un conjunto nulo de Lebesgue. ¿Es eso cierto?
Sí, este juego tiene el cero $(n-1)$-dimensional de la medida de Lebesgue. Desde $S$ $n$- dimensional, su interior está vacío; después de la traducción podemos suponer $0$ es un punto interior. Deje $f:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$ ser la de Minkowski indicador de $S$, que es $$f(x) = \inf\{t : t^{-1}x\in S\}$$ Este es un convexo de Lipschitz función para la cual el nivel de los conjuntos de reescalado copias de $\partial S$. Si $x\in B$ admite múltiples de apoyo hyperplanes, a continuación, $f$ no es diferenciable en a $t x$ todos los $t>0$. Pero por Rademacher del teorema, una de Lipschitz de la función es derivable en casi todas partes. La conclusión de la siguiente manera.
En realidad, más se puede decir sobre el conjunto de nondifferentiability de un convexo función: ver el artículo Sobre los puntos de que no la diferenciabilidad de las funciones convexas por Pavlica y la referencia [2] en el mismo (1979 papel por Zajíček, En la diferenciación de las funciones convexas en lo finito y lo infinito dimensional los espacios).
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