Un operador$T:\mathbb{R}^4\to \mathbb{R}^4$ tal que$T$ no tiene valores propios (reales).

Question

Dé un ejemplo de un operador$T:\mathbb{R}^4\to \mathbb{R}^4$ tal que$T$ no tenga valores propios (reales).

¿Cómo puedo encontrar este operador?

Gracias por tu ayuda.

Answer 1

Primero, encuentra un polinomio de grado 4 sin raíces reales. Luego, forme la matriz compañera de este polinomio (busque "matriz compañera" si no está familiarizado con este término, se alegrará de haberlo hecho).

Answer 2

Consideremos una rotación sobre el origen.

Answer 3

Otro ángulo de mira a este problema es tomar la ecuación diferencial $(D^2+1)^2[y]=0$ (o $y''''+2y''+y=0$ si usted lo prefiere) y reducirlo a un sistema de cuatro de primer orden ecuaciones diferenciales ordinarias mediante la reducción de la orden $x_1=y,x_2=y',x_3=y'',x_4=y'''$. La matriz de este sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias tendrán complejo autovalores $i,-i$ correspondiente a un par de complejos e-vectores y un par de generalizada compleja e-vectores. Este es el complementario de la matriz para la educación a distancia.

$$ \left[ \begin{array}{cccc} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & -2 & 0 \end{array} \right] $$

Esta matriz corresponde a $T: \mathbb{R}^4 \rightarrow \mathbb{R}^4$ sin e-valores.

Answer 4

Un ejemplo simple es el operador lineal correspondiente a $ \ left (\begin{array}{ccc} 0 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ \end {array} \ right) $

Answer 5

Puedes construir ejemplos haciendo lo siguiente:

1. Elija cualquier matriz diagonal con valores no reales en su diagonal:

$ A = \begin{pmatrix} a_{1,1} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & a_{2,2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a_{3,3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & a_{4,4} \end {pmatrix} $

Al elegir correctamente$M \in GL(4,\mathbb C)$, puede hacer que el operador$T=M^{-1}AM$ real:$T : \mathbb R^4 \longrightarrow \mathbb R^4$.