¿Es posible que dos conjuntos cerrados no tengan una distancia mínima?

Question

¿Es posible que dos conjuntos cerrados no tengan una distancia mínima? Estoy tratando de pensar en un ejemplo en el que dos conjuntos cerrados en$\mathbb{R}$ no tengan una distancia mínima.

Estoy pensando en la línea y los intervalos reales, pero creo que es imposible que dos intervalos cerrados no tengan una distancia mínima. Entonces, ¿hay otros subconjuntos de$\mathbb{R}$ que podrían tener esta propiedad?

Answer 1

En los reales$\mathbb{N}^+$ y$\{n + \frac{1}{n+1}: n \in \mathbb{N}^+ \}$ están cerrados, y están separados. Además$d(n, n+\frac{1}{n+2}) = \frac{1}{n+2} \rightarrow 0$.

Answer 2

Deje $(X,d)$ ser un espacio métrico, y deje $A$ $B$ ser cualquiera (no vacío) de subconjuntos de a $X$. A continuación, definimos la distancia entre el $A$ $B$ como sigue: $$D(A,B) \colon= \inf \left\{ \ d(a,b) \ \colon \ a \in A, \ b \in B \ \right\}.$$

Ahora desde el conjunto $$\left\{ \ d(a,b) \ \colon \ a \in A, \ b \in B \ \right\}$$ is a subset of $\mathbb{R}$ that is bounded below by $0$, siempre tiene un infimum.

Ahora la pregunta es si esto infimum es realmente obtenidos, es decir, si existen puntos de $a_0 \in A$, $b_0 \in B$ tal que $$D(A,B) = d(a_0, b_0).$$

Deje $X \colon= \mathbb{R}^2$ con la métrica Euclidiana, y vamos a $$A \colon= \left\{ \ (x,y) \in\mathbb{R}^2 \ \colon \ xy=1 \ \right\},$$ y $$B \colon= \left\{ \ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \ \colon \ xy=-1 \ \right\}.$$ A continuación, los conjuntos de $A$ $B$ son conjuntos cerrados (porque sus complementos están abiertos), pero no hay un mínimo de distancia entre ellos. Mira los gráficos de las funciones de $f, g \colon \mathbb{R} \setminus \{0\} \to \mathbb{R}$ definido por $$f(x) \colon= \frac{1}{x} \ \mbox{ and } \ g(x) \colon= -\frac{1}{x} \ \mbox{ for all } \ x \in \mathbb{R}\setminus\{0\}.$$ Estos gráficos son exactamente los conjuntos de $A$$B$.

Vamos $(a_1, a_2) \in A$, $(b_1, b_2) \in B$. Entonces $$a_1 a_2 = 1 \ \mbox{ and } \ b_1 b_2 = -1.$$ Por eso, $a_1, a_2, b_1, b_2$ son todos los no-cero y
$$a_2 = {1 \over a_1} \ \mbox{ and } \ b_2 = -{1 \over b_1}.$$ Por lo tanto, $$ \begin{align} d\left( (a_1, a_2), (b_1, b_2) \right) &= \sqrt{ (a_1-b_1)^2 + (a_2-b_2)^2} \\ &= \sqrt{ (a_1-b_1)^2 + \left( {1 \over a_1} + {1 \over b_1 } \right)^2}. \end{align} $$

Así que vamos a considerar la función de $F \colon \mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\} \to \mathbb{R}$ definido por $$F(x,y) \colon= (x-y)^2 + \left({1 \over x } + {1 \over y} \right)^2 \ \mbox{ for all } \ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}. $$ Vamos a tratar de minimizar esta función. El valor mínimo, si los hubiere, se alcanza en los puntos de $(x,y) \in \mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}$ donde $${\partial F \over \partial x } = 0 = {\partial F \over \partial y }.$$ Ahora espero que usted puede continuar a partir de aquí.