Solución fundamental de un operador desplazado.

Question

¿Cuál es la solución fundamental del operador desplazado$ \Delta + \lambda^2 $, es decir, qué función$f$ satisface la siguiente ecuación$$ (\Delta + \lambda^2 )f(x) = \delta(x),$ $ donde$ \Delta = \frac{d^2}{dx^2}$,$\lambda \in \mathbb C$ y$\delta(x)$ es la medida de dirac en$x=0$.

En nuestro caso considerado, esto equivale a demostrar que para cualquier$g$ en$C^\infty(\mathbb R)$ se mantiene la siguiente identidad: \begin{equation} g(0)=\int_0^\infty(\Delta + \lambda^2 )f(x) \, g(x) d(x). \end{equation}

¡¡¡Puede ayudarme alguien!!!

Gracias por adelantado

Answer 1

Usted puede tratar de la transformada de Fourier de la ecuación, utilizando $$\hat{f}(y)=\int_{-\infty}^\infty f(x)e^{ixy}dx$$ su ecuación se convierte en: $$(-y^2+\lambda^2)\hat f(y)=1$$ Así: $$\hat f(y)=\frac{-1}{y²- \lambda²}$$ Y usted necesita a la transformada de Fourier de nuevo: $$f(x)=-\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty \frac{e^{ixy}}{y²- \lambda²}dy$$ Para evaluar esto, se puede utilizar el teorema de los residuos con un semi-circular de contorno en la mitad superior del plano complejo para $x>0$ y la más baja a la mitad para $x<0$. Hay dos polos en $y\pm \lambda$ con residuo $\pm e^{\mp i\lambda x}/2\lambda$. Ahora usted puede establecer un contorno que va alrededor de los polos de diferentes maneras ; mediante un contorno que va por debajo de los dos polos, me sale: $$f(x)=\frac{\sin(\lambda x)}{\lambda}\theta(x)$$ donde $\theta$ es la función escalón unitario. Funciona, si no me equivoco. Esto es más un físico de la respuesta de un matemático es uno, aunque