Definición formal del funtor de olvido

Question

Dada la definición de un categoría $\mathbb{C}$ (que reescribo sólo para coincidir en la notación), que consiste en

• una colección de objetos $\mathsf{Obj} ( \mathbb{C} )$ ;
• una colección de $\mathsf{Arr} ( \mathbb{C} )$ con $f \in \mathsf{Arr} ( \mathbb{C} )$ ,

Tengo un problema con la definición formal de functor de olvido. Lo que quiero decir es que siempre encuentro este concepto sólo -por así decirlo- definido de manera informal. Esto es un problema para mí, porque empezar autodidacta, prefiero tener definiciones formales, donde mi mala intuición puede fallar con menos frecuencia (...en principio!).

Por lo tanto, aquí está mi definición.

A functor olvidadizo es un functor $U: \mathbb{X} \to \mathbb{Y}$ que asigna a cada $A \in \mathbb{X}$ un correspondiente $U(A) \in \mathsf{Obj}(\mathbb{Y})$ y asigna a cada morfismo $f : A \to A'$ en $\mathbb{X}$ la misma función $f$ , considerada como una función entre elementos de $\mathsf{Obj}(\mathbb{Y})$ .

¿Es correcta esta definición?

Gracias como siempre por su tiempo.
Cualquier opinión (o mejora, o comentario sobre la errores tipográficos ) es más que bienvenida.

P.D.: Soy consciente de que esta pregunta puede resultar duplicado (y véase la referencia en la misma). Sin embargo, creo que no es el caso. Mi pregunta no tiene implicaciones matemáticas o conceptuales profundas: es más bien una pregunta para obtener alguna intuición detrás de este concepto. En otras palabras, me gustaría encontrar una respuesta razonable, una en la que alguien escriba "Esto está mal, y no se puede hacer eso, pero en principio esto es lo que a grandes rasgos que todos tenemos en mente (¡siendo conscientes de que no es del todo correcto!), cuando encontramos esa expresión".

Answer 1

Debes pensar en el "funtor olvidadizo" no como una clase de funtores que puedes esperar aislar por alguna propiedad, sino como un método particularmente común de producir funtores, que a grandes rasgos es así: muchas categorías se definen por tener objetos que son tuplas de cosas $(a, b, c, ...)$ (por ejemplo, la tupla $(M, e, m)$ que consiste en un conjunto $M$ , un elemento $e \in M$ y una operación binaria $m : M \times M \to M$ ) que satisfacen algunos axiomas (por ejemplo, el axioma de identidad, la asociatividad), y morfismos que son mapas de tuplas de alguna manera. Un functor olvidadizo es un functor que se obtiene literalmente olvidando una o más de las cosas de la tupla (por ejemplo, la identidad $e$ y la multiplicación $m$ , con lo que se obtiene el functor olvidadizo de monoides a conjuntos).

En particular, esta noción de functor de olvido no es invariante bajo la equivalencia de categorías: depende de la elección de una presentación de una categoría en términos de objetos constituidos por ciertos tipos de datos, de modo que se pueden olvidar algunos de los datos.

Incluso entonces, hay cosas que la gente llama funtores olvidadizos que no son al menos obviamente descritos por esta construcción. Por ejemplo, hay un funtor de álgebras asociativas a álgebras de Lie dado por el envío de un álgebra $A$ al álgebra de Lie cuyo espacio vectorial subyacente es $A$ y cuyo corchete de Lie es el corchete del conmutador, y a menudo llamo a esto un functor olvidadizo aunque no haya, digamos, olvidado la multiplicación completa en $A$ . Para describir este functor olvidador en términos de la construcción anterior es necesario hablar de todas las operaciones que se obtienen en las álgebras procedentes de componer la multiplicación escalar, la suma y la multiplicación (éstas forman una teoría de Lawvere, o si se quiere una operada) y luego olvidar algunas de ellas (las que se pueden obtener componiendo la multiplicación escalar, la suma y el corchete conmutador).

A veces no vale la pena intentar dar una definición general. Un término análogo para el que no vale la pena (según mi experiencia) dar una definición general es "geometría". Cualquier definición que se elabore probablemente excluirá algún ejemplo importante o será tan general que no se podrá hacer nada útil con ella.

Answer 2

No hay una definición formal de los funtores olvidadizos. Es un nombre general para los funtores $\mathcal C \to \mathcal D$ que toma un objeto $c$ de $\mathcal C$ a su subyacente objetos en $\mathcal D$ y no hace nada en los morfismos. Se espera que las palabras en cursiva tengan una definición obvia en los ejemplos de trabajo.

Lo único en lo que la gente tiende a estar de acuerdo es en que un functor olvidadizo debe ser fiel (esto es lo mejor que podemos esperar no hacer nada en toda su generalidad). Más allá de eso, es lo que usted quiera que sea en los ejemplos que le interesan. Por ejemplo, los algebristas probablemente requerirán que el functor tenga también un adjunto izquierdo para tener una construcción algebraica libre.