Extensiones abelianas de extensiones algebraicas de$\Bbb Q$

Question

Deje $F/\Bbb Q$ ser una expresión algebraica extesnion (no puede ser finito), tenemos la clase de teoría de campo para abelian extensiones de $F$ ? En otras palabras, podemos describir $G^{ab}_F$?

Si $F$ contiene todas las raíces de la unidad, a continuación, por Kummer la teoría sabemos que el pro-cociente p $G_F^{ab}(p) \cong \Bbb Z_p^{dim_{\Bbb F_p}F^{\times}/(F^{\times})^p}$, ver comentarios sobre la máxima abelian extensiones de 2.9. en el presente artículo. Pero este isomorfismo no es útil en la práctica y no tiene muchas buenas propiedades en comparación con el Artin homomorphism.

Answer 1

Si $[F:\mathbf Q]$ es finito, es decir, $F$ es un número de campo, la descripción de lo finito abelian extensiones de $F$ y su aritmética es, en teoría, completamente asegurada por los CFT, en el ideal o en idelic términos, véase un resumen por ejemplo, aquí https://math.stackexchange.com/a/2127486/300700. Para ir a infinito abelian extensiones, en principio, uno puede tomar inductivo de los límites de los campos (resp. proyectiva de los límites de los grupos de Galois). Para evitar el tropiezo en la de los no-noetherian módulos, por lo general se "restringe la ramificación", es decir, se considera abelian de las extensiones que se unramified fuera de un conjunto finito $S$ de los primos de $F$. Esto equivale a estudiar, no a todo el $G_F^{ab}$ (= grupo de Galois de la máxima abelian extensión de $F$), pero el cociente $G_{F,S}^{ab}$ (= grupo de Galois de la máxima abelian extensión de F, que es unramified recorren $S$), o incluso su máxima pro-$p$-cociente $X_S(F)$, $S$ contiene todos los $p$-lugares de $F$. A continuación, $X_S(F)$ es un noetherian $\mathbf Z_p$-módulo, pero aún así, no todo es conocido. La precisa $\mathbf Z_p$-rango de $X_S(F)$ está dado por el famoso Leopoldt conjetura (solucionado si $F$ es abelian $\mathbf Q$), y el $\mathbf Z_p$-torsión submódulo es - a grandes rasgos - en relación con el $p$-ádico L-funciones de adjunto a $F$ al $F$ es totalmente real (este es el llamado Principal de la Conjetura de la teoría de Iwasawa, ahora el teorema de Mazur-Wiles). Para echar un vistazo, ver p.ej. https://math.stackexchange.com/a/1898156/300700.

Ahora lo que parece interesarle más se acerca la secuencia de $F < F^{ab} < (F^{ab})^{ab} <...$ En términos de grupos de Galois, si $G = G_F$ es la absoluta grupo de Galois del campo de número de $F$, que te gustaría saber sobre los sucesivos cocientes de $G$ modulo de las sucesivas subgrupos de sus descendente derivados de la serie. De nuevo, para evitar problemas de no noetherianity, por lo general se toma el $p$-ádico punto de vista y en lugar ocupa la $q$-descendente central de la serie de $G$ donde $q$ es una potencia de un primo $p$ : $G^{(1)}=G, G^{(i+1)}=G^q[G^{(i)}, G]$ para $i=1, 2,...$, e $G^{[i]}=G/G^{(i)}$. El sorprendente resultado obtenido por Jan Minac y sus colaboradores (alrededor de 2012) es que para cualquier campo de la característica $\neq p$, y con un primitivo $q$-ésima raíz de la unidad (los llamados kummerian situación), $G^{[3]}$ está determinada únicamente por $H^1 (G, \mathbf Z/q)$, y en la copa del producto en $H^1(G,\mathbf Z/q)\otimes H^1(G,\mathbf Z/q)$. Para $q=p$, esto produce un explícito de Galois descripción del campo $F_3$ fijado por $G^{(3)}$ dentro de un separables cierre de $F$.

Por supuesto, cuando la $F$ es un número de campo, resultados más precisos se puede obtener jugando con propiedades aritméticas. Para volver al ejemplo dado en tu post, tome $F=\mathbf Q , K=\mathbf Q^{ab}, H=G_F^{ab}, p=2$. A continuación, una $\mathbf F_2$-base de ${(K^*/{K^*}^2)}^H$ está formado por las clases de mod ${K^*}^2$ $\sqrt l\cup {sin[a_{q,r}]}$ donde $l$ corre a través de todos los primos y las $(r,q)$ corre a través de todos los pares de números primos $r<q$ ; aquí $sin [a]=2 sin\pi a$ si $0<a<1, a\in \mathbf Q$ , $1$ si $a=0$, y el $a_{q,r}$ son complicadas sumas de racionales... que no sé cómo escribir ! Este fue un teorema de G. W. Anderson (2002), llamado "de Kronecker-Weber + $\epsilon$" ./.