Ejemplo de un anillo local cero característico con un cociente de característica positiva

Question

Esta pregunta fue incluida en un examen de calificación en mi universidad:

¿Cuál es un ejemplo de un conmutativa anillo local $R$ de característica cero, con una máxima primer ideal ideal $P$ tal que la característica de $R/P$ es no cero?

Nuestro ejemplo favorito de un anillo local, $\mathbb{Z}_{(p)}$, no va a funcionar porque es un PID (un DVR de hecho) y no tiene ningún no-máxima primer ideas. Creo que el anillo de poder de la serie de $\mathbb{Z}_{(2)}[\![x]\!]$ podría ser un ejemplo, pero no he trabajado fuera de los detalles todavía.

Answer 1

Un ejemplo será el anillo de $\mathbb{Z}[x]$ localizada en $(x,2)$, lo $\mathbb{Z}[x]_{(x,2)}$. Aquí un hecho importante que hace de esto una razonable ejemplo es que la localización de un anillo de $R$ en un primer ideal $P$ será un anillo local $R_P$, el máximo ideal de ser $P_P$, y, además, el primer ideales de $R_P$ serán todos de la forma $Q_P$ para algunos de los mejores ideales $Q$ de $R$ que está contenida en $P$. Así que para nuestro ejemplo particular, estamos buscando en la cadena de primer ideales $(0) \hookrightarrow (2) \hookrightarrow (2,x) \hookrightarrow \mathbb{Z}[x]$. El ideal de $(2)_{(2,x)}$ será el primer en $\mathbb{Z}[x]_{(x,2)}$, y desde $\mathbb{Z}[x]_{(x,2)}$ todavía es unital, el cociente de $\mathbb{Z}[x]_{(x,2)}$ por $(2)_{(2,x)}$ tendrá carácter $2$.

El anillo de $\mathbb{Z}_{(2)}[\![x]\!]$ mencionado en la pregunta es un ejemplo demasiado, por casi el mismo motivo: el ideal de la $(x,2)$ es máxima y $(2)$ es primo.