¿Por qué son estas dos definiciones del conjunto de Mandelbrot equivalente?

Question

La definición del conjunto de Mandelbrot que la mayoría de los entusiastas primer encuentro es que el conjunto de todos los números complejos $c$ para que la secuencia de $z_{n+1} = z_n^2 + c$ a partir de $z_0 = 0$ no divergen. Para su comodidad, nos deja el nombre de este familiar cuadrática mapa de $P_c(z) = z^2 + c$.

He leído que un equivalente de la definición del conjunto de Mandelbrot es como la "conectividad locus" de los conjuntos de Julia de $P_c$. Es decir, $c$ es en el conjunto de Mandelbrot si y sólo si su correspondiente llenado Julia $K_c = \{z : P_c^n(z) \not\rightarrow \infty\}$ está conectado.

¿Por qué son estas definiciones equivalentes?

Entiendo que la equivalencia se reduce a la afirmación de que $K_c$ está conectado si y sólo contiene la $0$, pero no sé cómo esto está demostrado.

Answer 1

Deje $S_1$ ser un círculo de radio $100$ en el plano complejo centrado en el origen. Claramente todo fuera de $S_1$ diverge a $\infty$ bajo iteración de $P_c$, por lo que la llena de Julia se encuentra en su totalidad dentro de $S_1$.

Ahora tome la preimagen $S_2$ $S_1$ bajo $P_c$. Esta será una pequeña curva (cerca de un círculo con un radio de aproximadamente $\sqrt{100} = 10$), que a su vez debe contener toda llena de Julia. Iterando este proceso, se obtiene una secuencia $S_1,S_2,\ldots$ de las curvas cerradas, cada una de las cuales contiene el lleno de Julia en su interior. De hecho, desde cualquier punto fuera de los rellenos de Julia va a $\infty$ bajo iteración de $P_c$, la intersección de los interiores de las curvas de $S_n$ es, precisamente, la llena de Julia. (Ver esta foto , por ejemplo. Las curvas de separar los diferentes tonos de naranja son los iterada preimages de algunos de los grandes círculo).

Por desgracia, este razonamiento no es del todo correcto, porque la preimagen de una curva cerrada en $P_c$ no es siempre una sola curva cerrada. A veces es una curva cerrada, y a veces es de dos curvas cerradas con distintos interiores. Si nos repetidamente tomar la preimages de $S_1$, podemos encontrar que $S_n$ es una unión de un gran número de curvas cerradas! Nota, sin embargo, que estas curvas todavía contienen el lleno de Julia en su totalidad dentro de ellos.

Ahora, aquí está la clave de bits: la preimagen de una curva tendrá un componente si y sólo si $0$ se encuentra en el interior de la preimagen. Esto es debido a que $0$ es el punto crítico de la mapa de $P_c$. Así, la preimagen de una curva es una sola curva que rodea a $0$, o dos curvas, ni de lo que rodea a $0$. (En el último caso, las dos curvas son realmente negativos de uno a otro, es decir, simétrica a través del origen.) Por lo tanto, hay exactamente dos casos:

1. El punto de $0$ se encuentra en los rellenos de Julia. En este caso, cada preimagen $S_n$ debe ser de una sola curva, por lo que la intersección de los interiores está conectado.

2. El punto de $0$ se encuentra fuera de los rellenos de Julia. En este caso, algunos preimagen $S_n$ no rodear $0$, por lo que debe tener dos componentes. A continuación, cada una de las sucesivas preimagen tendrá dos veces la cantidad de curvas como la última, y la resultante lleno de Julia es homeomórficos para el conjunto de Cantor. (Ver esta foto , por ejemplo. Las curvas de separar los diferentes tonos de azul son los iterada preimages de algunos de los grandes círculo. Usted debe ser capaz de ver el primer paso en el que la curva se separa en dos componentes.)