Encuentra todos los puntos en un paraboloide donde el plano tangente es paralelo a un plano dado

Question

Encuentra todos los puntos en el paraboloide $z=x^2+y^2$ donde el plano tangente es paralelo al plano $x+y+z=1$ y encuentra las ecuaciones de los planos tangentes correspondientes. Haz un bosquejo del gráfico de estas funciones.

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Tengo la respuesta. Realmente no entiendo este tipo de preguntas. Y tengo muchas ganas de aprender. También he agregado la respuesta como una imagen. Por favor, enséñame cómo resolverlo.

Por favor, ayúdame. ¡Muchas gracias:)

Answer 1

Para obtener un vector normal al paraboloide en un punto (x,y,z), podemos tomar el gradiente $\nabla f(x,y,z)=-2xi-2yj+k$. Dado que queremos que el plano tangente en el punto sea paralelo al plano $x+y+z=1$, el vector normal $\nabla f(x,y,z)=-2xi-2yj+k$ tiene que ser paralelo al vector $i+j+k$ (ya que este es un vector normal a $x+y+z=1$). Esto significa que $-2xi-2yj+k$ debe ser un múltiplo constante de $i+j+k$, por lo que $-2xi-2yj+k=c(i+j+k)$ para alguna constante c. Entonces $-2x=c$, $-2y=c$, y $1=c$, así que $x=-1/2$ y $y=-1/2$. Por lo tanto $z=x^2+y^2=1/4+1/4=1/2$ en el punto de tangencia, y el plano tangente tiene la ecuación $x+y+z=-1/2$ en este punto.

Answer 2

Puedes obtener una parametrización de tu subvariedad al verla como un gráfico de una función, y las derivadas parciales de la parametrización dan una base del espacio tangente en cada punto.

Sea el paraboloide, como una subvariedad, denotado por $S$. Tenemos $f(x,y) = (x, y, x^{2} + y^{2})$ como nuestra parametrización, por lo tanto $T_{f(x,y)}S = <(1,0,2x)^{t}, (0,1,2y)^{t}>.

Ahora obtienes exactamente dos vectores de longitud unitaria que abarcan el complemento ortogonal de $T_{f(x,y)}S$. Elige un vector así, llamémoslo $\nu$. Todo lo que tienes que hacer ahora es encontrar el plano al que deseas que $T_{f(x,y)}S$ sea paralelo, y verificar que la recta definida por $c(t) = f(x,y) + t\nu$ intersecte el plano de manera ortogonal.

Editar:

Para la última parte, utilizamos que en el espacio euclidiano, un hiperplano es paralelo a otro hiperplano si y solo si existe una recta que se encuentra con ambos ortogonalmente.