Como dice el título, estoy buscando todas las soluciones para $$x^2 \equiv 4 \pmod{91}$$ y no sé exactamente cómo proceder.
La pista era que como 91 no es primo, el Teorema del Resto Chino podría ser útil.
Así que he empezado por separar en dos congruencias distintas: $$x^2 \equiv 4 \pmod{7}$$ $$x^2 \equiv 4 \pmod{13}$$
¡pero ahora estoy confundido sobre cómo aplicar el CRT así que estoy un poco atascado, y agradecería cualquier ayuda o pista!
Comenzamos con su sistema de ecuaciones: $$\begin{cases} x^2 \equiv 4 \pmod{7} \\ x^2 \equiv 4 \pmod{13} \end{cases}$$
Entonces, resolviendo cada congruencia, obtenemos el sistema: $$\begin{cases} x \equiv \pm 2 \pmod{7} \\ x \equiv \pm 2 \pmod{13} \end{cases}$$
Por lo tanto, tenemos cuatro sistemas de congruencias lineales, cada uno con una solución única por el Teorema del Resto Chino:
$$\begin{cases} x \equiv 2 \pmod{7} \\ x \equiv 2 \pmod{13} \end{cases} \tag{1}$$
$$\begin{cases} x \equiv 2 \pmod{7} \\ x \equiv - 2 \pmod{13} \end{cases} \tag{2}$$
$$\begin{cases} x \equiv - 2 \pmod{7} \\ x \equiv 2 \pmod{13} \end{cases} \tag{3}$$
$$\begin{cases} x \equiv - 2 \pmod{7} \\ x \equiv -2 \pmod{13} \end{cases} \tag{4}$$
Estas cuatro soluciones serán distintas módulo $91$ Queda por encontrarlos.
Por el teorema del resto chino se obtiene un isomorfismo entre esos dos anillos :
$$\psi:\frac{\mathbb{Z}}{91\mathbb{Z}}\rightarrow \frac{\mathbb{Z}}{7\mathbb{Z}}\times \frac{\mathbb{Z}}{13\mathbb{Z}} $$
$$x\mapsto (x\text{ mod } 7,x\text{ mod } 13) $$
significa que para resolver $4=s^2$ mod $91$ sólo tienes que resolver $\psi(4)=\psi(s)^2$ que a su vez da $4=s_1^2$ mod $7$ y $4=s_2^2$ mod $13$ . Ahora estamos mod algunos números primos, porque tenemos dos soluciones obvias que son la única. En otras palabras $\psi(s)=(\epsilon_12,\epsilon_22)$ donde $\epsilon_i\in\{\pm 1\}$ . Esto da cuatro soluciones. Ahora sólo hay que encontrar la función inversa de $\psi$ (es un cálculo clásico) para tener explícitamente las cuatro soluciones de la ecuación $4=s^2$ mod $91$ .
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¿eres capaz de utilizar la ley de reciprocidad cuadrática?
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Puesto que tanto 13 como 7 son primos, y 4 es un cuadrado, ¿por qué no intentas restar ese 4 al lado de x^2 y factorizarlo?
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Tenga en cuenta que $x^2 \equiv 4$ (mod $7$ ) implica $x \equiv 2$ o $x \equiv 5$ mod $7$ . Y $x^2 \equiv 4$ (mod $13$ ) implica $x \equiv 2$ o $x \equiv 11$ mod $13$ .
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Gracias por las pistas, ¡ya lo tengo! Pero por curiosidad, @SirJective ¿cómo se podría utilizar aquí la ley de reciprocidad cuadrática?