Mostrar que$f(x) = \frac{x^3}{1+x^2}$ es biyectivo

Question

Esto parece una pregunta simple, pero estoy atascado: ¿cómo muestro que$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definido como$f(x) = \frac{x^3}{1+x^2}$ es biyectivo?

Quiero demostrar que es tanto inyectiva como superyectiva. Para mostrar que es inyectivo, debo mostrar que$f(x) = f(y)$ implica$x = y$. Sin embargo, no puedo ver una forma de reducir$\frac{x^3}{1+x^2} = \frac{y^3}{1+y^2}$ a$x = y$ (ya que no hay términos similares para combinar). Tampoco estoy seguro de cómo probar la certeza.

Answer 1

no necesita cálculo para mostrar que$f(x) = \dfrac{x^3}{1+x^2}$ es 1-1. Supongamos que$$\dfrac{a^3}{1+a^2} = \dfrac{b^3}{1+b^2} \tag 1$$ we will show that this implies $ a = b$ proving $ f $ es 1-1. al limpiar$(1)$ se obtiene$$(a-b)(a^2 + ab + b^2 + a^2b^2) = 0$$ now use the fact that $ a ^ 2 + ab + b ^ 2> 0$ for $ a \ neq 0, b \ neq 0$ to conclude $ a = b. $

$\bf Edit:$ Para mostrar que$f$ está en la nota de que$f(x) = \dfrac{x^3}{1+x^2}$ es impar y$\lim_{x \to \infty} \dfrac{x^3}{1+x^2} = \infty$. Es decir, el rango de$f$ es$(-\infty, \infty).$

Answer 2

Usando la regla de cociente$\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{u}{v}\right) = \dfrac{v\dfrac{du}{dx}-u\dfrac{d}{dx}}{v^2}$, obtenemos

PS

que es continuo y estrictamente positivo, excepto en$$\frac{df}{dx}=\frac{x^4+3x^2}{1+x^2}$. Por lo tanto,$x=0$ está aumentando estrictamente, por lo tanto, inyectivo.

Answer 3

Sugerencia: $f(x) = x - \dfrac{x}{1+x^2}$, y muestra$f'(x) > 0$