Prueba de una declaración utilizando la inducción matemática

Question

Estoy tratando de demostrar que$6 \mid (n^3 - n)$ donde$n$ es un número entero no negativo. Comencé por probar el paso básico con$P(6)=4$. El siguiente paso sería la inducción. Sin embargo, estoy teniendo problemas para entender y usar el método. ¿Podría alguien mostrarme cómo probaría la afirmación y explicarme cómo obtendría la respuesta? Gracias por adelantado.

Answer 1

Sugerencia $\ $ Deje $\,f(n) = n^3-n\,$ en El caso base es clara $\,6\mid f(0) = 0.\ $ Para el paso inductivo tenemos que demostrar que el $\,6\mid f(n)\,\Rightarrow\, 6\mid f(n\!+\!1).\,$ Para esto basta para demostrar que $\,6\,\mid f(n\!+\!1)-f(n)=: g(n)\,$ desde entonces $\,6\mid g(n),f(n)\,\Rightarrow\,6\mid g(n)+f(n) = f(n\!+\!1).\ $, Pero esto es fácil

$$ f(n\!+\!1) - f(n)\, =\, (n\!+\!2)\color{#0a0}{(n\!+\!1)n - (n+1)n}(n-1) \,=\, 3\color{#0a0}{n(n+1)}$$

que es divisible por $6$ desde $\,n\,$ o $\,n\!+\!1\,$ es incluso (o, utilice el mismo método de forma recursiva: tenga en cuenta que para $\,p(n) = n(n\!+\!1)\,$ tenemos $\,2\mid p(0)\,$ $\,2\mid p(n\!+\!1)-p(n) = 2(n\!+\!1))\,$

Comentario $\ $ Este es un caso especial de un poderoso método general conocido como telescópica de inducción. Usted puede encontrar muchos más ejemplos en mis posts en telescopy.

Answer 2

La declaración$P(n)$ que intenta probar debe ser

$6$ divide$n^3-n$

y su caso base debe ser$P(0)$, que es

$6$ divide$0^3-0$.

El paso de la inducción será probar.

Si$P(n)$ es verdadero, entonces$P(n+1)$ también es cierto

cual es

Si$6$ divide$n^3-n$, entonces$6$ divide$(n+1)^3-(n+1)$

Answer 3

Especial de esta respuesta es que sólo utiliza la inducción. No se da por sentado que el producto de dos números consecutivos es aún.

Deje $P\left(n\right)$ denotar la declaración:

$2\mid n\left(n+1\right)$ $6\mid n^{3}-n$

Vamos a demostrar por inducción que $P(n)$ es verdadera para cada entero no negativo $n$.

Es evidente que $P\left(0\right)$ es cierto: $2\mid0=0\left(0+1\right)$ y $6\mid0=0^{3}-0$.

Suponga que $P\left(n\right)$ es verdad para algunos no negativo entero $n$.

Se muestra ahora es que $P\left(n+1\right)$ es verdadera, es decir, que $2\mid\left(n+1\right)\left(n+2\right)$ y $6\mid\left(n+1\right)^{3}-\left(n+1\right)$.

$\left(n+1\right)\left(n+2\right)=n\left(n+1\right)+2\left(n+1\right)$ donde $2\mid n\left(n+1\right)$ es verdad y donde, por supuesto, también a $2\mid2\left(n+1\right)$. Así llegamos a la conclusión de que $2\mid\left(n+1\right)\left(n+2\right)$.

$\left(n+1\right)^{3}-\left(n+1\right)=n^{3}-n+3n\left(n+1\right)$ donde $6\mid n^{3}-n$ también $6\mid3n\left(n+1\right)$ directa consecuencia de $2\mid n\left(n+1\right)$. Así llegamos a la conclusión de que $6\mid\left(n+1\right)^{3}-\left(n+1\right)$.

Probado ahora es puramente por inducción que $P\left(n\right)$ es cierto para cada no negativo $n$. Esto implica que $6\mid n^{3}-n$ cada una de las $n$.

Answer 4

Aunque esto puede ser demostrado ser mucho más fácilmente, sin necesidad de inducción, pero ya que ustedes lo pidieron, aquí va...
$$P(1)=1^3-1=0$$
También,
$6|0$ esto implica $P(0)$ es cierto.
Deje $P(n)$ ser verdadera para todos los enteros positivos.
Ahora tenemos que demostrar que $P(n+1)$ es cierto.
$$P(n+1)=(n+1)^3-(n+1)=n^3+3n^2+2n$$
Además, podemos escribir
$$n(n^2+3n+2)=n(n+1)(n+2)$$
Ahora nos esencia, tiene que probar que el producto de tres números naturales consecutivos es divisible por $6$.
Desde $P(n+1)$ es igual al producto de tres enteros consecutivos, podemos ver que este será divisible por $6$ como se puede ser escrito como $x(2y)(3z)$ o $x(6y)z$.
Esto es porque no tiene que ser un número divisble por $3$ y otro divisble por $2$ $3$ enteros consecutivos. Sin embargo, el mismo número puede ser divisible por ambos. Por lo tanto el segundo caso.
Por lo tanto demostrar (por inducción).