Calcular la integral definida

Question

Calcule el valor de la siguiente integral definida:$$5050\left( \frac{\int_0^1 (1-x^{50} )^{100} dx} {\int_0^1 (1-x^{50})^{101} dx}\right)$ $

Answer 1

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$$ I_ {101} = \ int_ {0} ^ {1} (\ color {red} 1) (1- {x ^ {50}}) ^ {100} - \ int_ {0} ^ {1} ( \ color {azul} {x ^ {50}}) (1-x ^ {50}) ^ {100} $$

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Ahora deje$$ \text{Let} : I_n = \int_{0}^{1} (1-x^{50})^{n} dx$ $$ I_ {101} = I_ {100} - \ Bigg [~~ \ underbrace {~ \ frac {- \ color {azul} x (1-x ^ {50}) ^ {101 }} {101} \ Bigg | _ {0} ^ {1}} _ {= 0} - \ int_ {0} ^ {1} \ frac {(1-x ^ {50}) ^ {101}} { 5050} \ Bigg] $$

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Answer 2

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Dejemos que$$\int_{0}^{1} (1-x^{50})^k dx$ entonces tengamos,$x^{50}=u$. Así que eso $50x^{49} dx=du$. Por lo tanto obtenemos,

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En particular, si$50u^{\frac{49}{50}} dx=du$ es un entero positivo que podemos escribir,

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Llegar,

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Answer 3

Sugerencia Al cambiar la variable$t=x^{50}$,$dx=\dfrac1{50}t^{1/50-1}dt$, uno obtiene $$ \ int_0 ^ 1 (1-x ^ {50}) ^ {100} dx = \ frac1 {50} \ int_0 ^ 1 ( 1-t) ^ {101-1} t ^ {1 / 50-1} dt $$ entonces uno puede usar la función beta de Euler , $$ \ int_0 ^ 1 (1-t) ^ {a-1} t ^ {b-1} dt = \ frac {\ Gamma (a) \ Gamma (b)} {\ Gamma (a + b)}. $$ ¿Puedes terminarlo?