Problema de la función continua en $\mathbb{R}$

Question

¿Puede alguien ayudarme con este problema?

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Sea $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ tal que $f([a,b])$ es un intervalo, para todo $a,b\in\mathbb{R}$ tal que $a < b$ . También, $f^{-1}(r)$ está cerrado para todo $r\in\mathbb{Q}$ . Demuestre que $f$ es continua en $\mathbb{R}$ .

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Gracias de antemano.

Answer 1

Ya que pides ayuda, aquí tienes una solución intencionadamente incompleta. Basta con demostrar que $f$ es continua por la izquierda y por la derecha en cada punto. Demostremos, por ejemplo, que $f$ es continua hacia la derecha en un punto $x\in{\mathbb R}$ .

Para $\delta \gt 0$ existen dos números no negativos (que denotaremos por $A(\delta)$ y $B(\delta)$ ) tal que $f([x,x+\delta])=[f(x)-A(\delta),f(x)+B(\delta)]$ (¿por qué?) Las funciones $A$ y $B$ son no crecientes en $\delta$ (¿por qué?) Así que los límites $a=\lim_{\delta \to 0, \delta \gt 0} A(\delta)$ y $b=\lim_{\delta \to 0, \delta \gt 0} B(\delta)$ nuestro trabajo es demostrar que esos límites son cero.

Supongamos, por ejemplo, que $a\gt 0$ . Entonces existe un $r$ tal que $f(x)-a \lt r \lt f(x)$ . Demuestre que el conjunto cerrado $C=f^{-1}(r)$ debe contener $x$ y derivar una contradicción de ello.