Traza de un operador nilpotente

Question

Dejemos que $V$ sea un espacio vectorial de dimensión finita sobre un campo $\mathbb{F}$ y $T:\,V \longmapsto V$ un mapa lineal.

El rastrear de $T$ , $tr(T)$ es la traza de cualquier matriz $A \in M_n(\mathbb{F})$ relacionado con $T$ con respecto a cualquier base de $V$ .

Tengo que demostrar que

Lema Si $T$ es un mapa lineal nilpotente, entonces $tr(T)=0$ .

prueba. Sabemos que si $T:\,V \longmapsto V$ un mapa lineal nilpotente de un espacio vectorial de dimensión finita, entonces existe una base de $V$ tal que la representación matricial de $T$ es triangular superior con elementos diagonales cero. Entonces $tr(T)=0$ .

PREGUNTA: Mi profesor utiliza una prueba diferente de este lema, pero creo que falta algo...

prueba.2 En primer lugar es fácil demostrar que la traza de una transformación lineal es también igual a la suma de las raíces de su polinomio característico $p_T$ en un campo de división $K$ de $p_t$ en $\mathbb{F}$ .

También si $T:\,V \longmapsto V$ un mapa lineal nilpotente entonces su único valor propio es 0.

Entonces $tr(T)=0$ .

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Creo que esta prueba es verdadera sólo si el campo $\mathbb{F}$ es algebraicamente cerrado: si es así, $\mathbb{F}$ contiene todas las raíces de $p_T$ . Entonces cada raíz de $p_T$ es un valor propio de $T$ y por lo tanto debe ser cero.

Pero si $\mathbb{F}$ es no cerrado algebraicamente, es posible que haya algunas raíces de $p_T$ que no están en $\mathbb{F}$ . Así que no estamos seguros de que cada raíz de $p_T$ es un valor propio de $T$ y entonces no puedo utilizar el hecho de que cada valor propio de $T$ es 0 para demostrar que $tr(T)=0$ . ¿Me equivoco?

¡¡Muchas gracias!!

Answer 1

El argumento que describes es perfectamente correcto. Su matriz puede ser vista como si tuviera elementos en $\mathbf{F}$ o como en $\overline{\mathbf{F}},$ desde $\mathbf{F} \subseteq \overline{\mathbf{F}}.$ El argumento muestra que si se piensa que los elementos están en la clausura, la traza es cero. Pero como quiera que se piense en ellos, $0\to 0$ bajo la inclusión $\mathbf{F} \to \overline{\mathbf{F}}.$