Dejemos que $V$ sea un espacio vectorial de dimensión finita sobre un campo $\mathbb{F}$ y $T:\,V \longmapsto V$ un mapa lineal.
El rastrear de $T$ , $tr(T)$ es la traza de cualquier matriz $A \in M_n(\mathbb{F})$ relacionado con $T$ con respecto a cualquier base de $V$ .
Tengo que demostrar que
Lema Si $T$ es un mapa lineal nilpotente, entonces $tr(T)=0$ .
prueba. Sabemos que si $T:\,V \longmapsto V$ un mapa lineal nilpotente de un espacio vectorial de dimensión finita, entonces existe una base de $V$ tal que la representación matricial de $T$ es triangular superior con elementos diagonales cero. Entonces $tr(T)=0$ .
PREGUNTA: Mi profesor utiliza una prueba diferente de este lema, pero creo que falta algo...
prueba.2 En primer lugar es fácil demostrar que la traza de una transformación lineal es también igual a la suma de las raíces de su polinomio característico $p_T$ en un campo de división $K$ de $p_t$ en $\mathbb{F}$ .
También si $T:\,V \longmapsto V$ un mapa lineal nilpotente entonces su único valor propio es 0.
Entonces $tr(T)=0$ .
Creo que esta prueba es verdadera sólo si el campo $\mathbb{F}$ es algebraicamente cerrado: si es así, $\mathbb{F}$ contiene todas las raíces de $p_T$ . Entonces cada raíz de $p_T$ es un valor propio de $T$ y por lo tanto debe ser cero.
Pero si $\mathbb{F}$ es no cerrado algebraicamente, es posible que haya algunas raíces de $p_T$ que no están en $\mathbb{F}$ . Así que no estamos seguros de que cada raíz de $p_T$ es un valor propio de $T$ y entonces no puedo utilizar el hecho de que cada valor propio de $T$ es 0 para demostrar que $tr(T)=0$ . ¿Me equivoco?
¡¡Muchas gracias!!
