Encontrar $x$ $1!+2!+\ldots+100!\equiv x \pmod{19}$

Question

Aquí yo vengo de uno más (probablemente falló al examen. Nunca nos hizo congruencia con factoriales; hubo 3 de 6 problemas que nunca han trabajado en clase y que no aparece en ninguna parte en secuencias de comandos o recomienda la literatura.

La primera es esta:

Encontrar $x$ $1!+2!+\ldots+100! \equiv x \pmod {19}$

Conseguí que todas las $x$ después $19!$$0$.

Pero me he quedado con las $1!+2!+\ldots+18!$, y mi calculadora no puede calcular el $18!$ sin exponencial, por lo que debe haber una forma más simple, pero nunca he aprendido.

Answer 1

$18! \equiv -1 \pmod{19}$ por Wilson del Teorema. A continuación, usted puede encontrar el inverso modular de $18$ modulo $19$, se multiplican ambos lados por él y usted obtendrá $17! \equiv 1 \pmod{19}$. Usted puede continuar simularly de los grandes números que están a la izquierda.

También se puede ir paso a paso en la multiplicación. Por ejemplo, para $13!$ puedes empezar:

$$13! \equiv 1 \cdot 2 \cdot ... \cdot 13 \equiv 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot 13 \equiv 6 \cdot 4 \cdot ... \cdot 13 \equiv 5 \cdot 5 \cdot ... \cdot 13 \equiv 6 \cdot 6 \cdot ... \cdot 13 \equiv 17 \cdot 7 \cdot ... \cdot 13 $$ $$\equiv 5 \cdot 8 \cdot ... \cdot 13 \equiv 2 \cdot 9 \cdot ... \cdot 13 \equiv 1 \cdot 10 \cdot ... \cdot 13$$ $$ \equiv 10 \cdot 11 \cdot 12 \cdot 13 \equiv 15 \cdot 12 \cdot 13 \equiv 9 \cdot 13 \equiv 3 \pmod {19}$$

Answer 2

Si $n\geq 19$, obviamente $n!\equiv 0\pmod{19}$, por lo que es suficiente para calcular: $$ \sum_{n=1}^{18} n!\pmod{19}.$$ Por otra parte, Wilson del teorema tenemos $18!\equiv -1\pmod{19}$ $9!\equiv -1\pmod{19}$ desde $-1$ no es un residuo cuadrático $\!\!\pmod{19}$.

Vamos que llenar una tabla simple: $$ \begin{array}{|c|c|}\hline n & 1 & 2 & 3 & 4 &5 &6 & 7 & 8 & 9 \\\hline n!\pmod{19} & 1 & 2 & 6 & 5 & 6 & 17 & 5 & 2 & 18\\\hline\end{array}$$ que da $\sum_{n=1}^{9}n!\equiv 5\pmod{19}$. Mediante la explotación de $9!\equiv -1\pmod{19}$, también tenemos
$\sum_{n=10}^{18}n!\equiv 3\pmod{19}$, por lo tanto: $$ \sum_{n=1}^{100}n! \equiv\color{red}{8}\pmod{19}.$$