El problema es el siguiente:
Probar o refutar que si ${F_{n}}$ es $$n-ésimo número de Fibonacci, y $n>5$, de $a${F_{n}}^2 - 28$$
no puede ser un primo.
Me encontré con este problema accidentalmente al intentar resolver otro problema.
Sospecho que hay una identidad que involucra ${F_{n}}^2 - 28$ que demuestra que es un compuesto. Por otro lado, es una especie de extraña y difícil imaginar una identidad que involucra número $28$...
${F_n}^2 - 28$, de hecho, no puede ser un número primo para $n>5$.
Supongamos que ${F_n}^2 - 28$ es un primo. En ese caso, $$ n debe ser par, esto se muestra (usando congruencias) en otras respuestas, voy a omitir esta para ahorro de espacio. También voy a usar de identidad conocida de $5{F_n}^2 = {L_n}^2 - 4$ válida incluso para $n$ ($L_n$ es $$n-ésimo número Lucas). Así, es válido que:
$$5({F_n}^2-28) = 5{F_n}^2-140 = ({L_n}^2 - 4) - 140 = {L_n}^2-144 = (L_n-12)(L_n+12)$$
${F_n}^2 - 28$ podría ser el primer sólo si uno de $L_n - 12$ y $L_n + 12$ $1$, $5$, $-1$, $-5$, y esos son solo algunos casos de pequeñas $n$. Para todos los demás, ${F_n}^2 - 28$ no puede ser un primer.
Una posible generalización: las Expresiones ${F_n}^2 - (k^2 - 4)/5$ (k es cualquier número natural) podrían ser candidatos para una otra prueba similar. Sin embargo, algunos otros bits y paces (como demostrar que $$ n debe ser par) debe ser válida también, y esto es a menudo no es cierto. Sin embargo, parece que, por ejemplo, ${F_n}^2 - 145$ satisface todas las condiciones, y también puede ser reducido a $({L_n}^2 - 4) - 725$ y finalmente a $(L_n-27)(L_n+27)$.
Fuera de tal generalización, parece que la declaración original (o su versión ligeramente modificada relativa sólo a condición $n>5$) es válida para ${F_n}^2 - 13$, ${F_n}^2 - 31$, ${F_n}^2 - 45$, ${F_n}^2 - 58$, ${F_n}^2 - 78$, ${F_n}^2 - 85$, ${F_n}^2 - 91$, ${F_n}^2 - 115$, ${F_n}^2 - 133$, ${F_n}^2 - 142$, ${F_n}^2 - 154$, ${F_n}^2 - 175$, ${F_n}^2 - 211$, ${F_n}^2 - 217$. (advertencia: he comprobado, a continuación, con la ayuda de un ordenador, y sólo por $n<1000$; véanse los comentarios de un interesante ejemplo que involucra $n>1000$)
Ahora, por el bien de curiosidad, echemos un vistazo a uno de estos casos. Caso ${F_n}^2 - 85$ puede ser demostrada usando congruencias para $2$, $3$, $17$, y $107$ solamente. Esto significa que uno de $2$, $3$, $17$, y $107$ es siempre un divisor de ${F_n}^2 - 85$. Caso Original ${F_n}^2 - 28$ es fundamentalmente diferente, y, si puedo decir, "la más bella", en el sentido de que se puede tener (y a menudo ha) solamente enorme divisores:
$${F_{20}}^2 - 28 = 3023\times15139$$ $${F_{172}}^2 - 28 = 10348333\times53505724471\times315619755257\times10455376853041\times82024860865049\times1040059595540327$$
Para los usuarios de Mathematica, este código:
Select[Table[Fibonacci[n], {n, 1, 1000}], PrimeQ[#*# + 3] &]
devuelve los números primos de la forma ${F_n}^2+3$, $1\le n\le de$ 1000 (en este caso, hay $6$ de los números primos):
{2, 8, 3524578, 27777890035288, \ 2011595611835338993891308327102733537615455242513357158345612749706882\ 9146295425939723629305572732574726246290673965789878845363842331040064\ 16432124798818261534841714338, \ 2949592466076064248964701302014885591673737506156850406413751530665307\ 5810241060939483954895520932111023343610904846943097162533007651451709\ 723277579925520157875345780869307228929160}
Usted está en lo correcto: $F_n^2-28$ nunca es un primer para $n\geq 6$, es decir, la totalidad de los $n$ donde $F_n^2-28\gt 0$; podría decirse que es el primer para $n=4$ ($F_4^2-28=-19$) y $n=5$ ($F_5^2-28=-3$).
Primero de todo, tenga en cuenta que si $3\no\mediados de F_n$, entonces $F_n^2\equiv 1\equiv 28\pmod 3$, entonces $3\mediados de F_n^2-28$. Por tanto, podemos asumir en lo que sigue que $3\mediados de F_n$ y por tanto $4\mid$n.
Ahora, (la definición de los $G_n=F_n^2-28$ para una mayor comodidad en lo que sigue:) numérico evidencia sugiere que la conjetura de que para todo $n$ divisible por $4$ hay $$ $G_n=5a^2+24a = a\times(5a+24)$. Podemos probar esto (y por lo tanto proporcionar una factorización para todo $n$) como sigue:
Suponga que $G_n=5a^2+24a$; en otras palabras, $5a^2+24a-G_n=0$. El (positivo) de la solución a esta ecuación cuadrática es $a=\frac1{10}\left(-24+\sqrt{24^2+20G_n}\right)$. Vamos a demostrar que esta cantidad es racional, y, a continuación, que es integral. Tenga en cuenta que $24^2+20G_n=24^2+20(F_n^2-28)=16+20F_n^2$, entonces $\sqrt{24^2+20G_n}=2\sqrt{4+5F_n^2}$. Pero desde $n$ es par, tenemos un total de $4+5F_n^2=L_n^2$, donde $L_n$ es el $$n th Lucas número (una especie de conjugado a los números de Fibonacci, la satisfacción de la misma recurrencia). Claramente $2L_n-24$ es divisible por $2$; su divisibilidad por 5 $en$ es equivalente a decir que $2L_n\equiv -1\bmod 5$ o que $L_n=2\bmod 5$. Pero esto sigue, ya que, como se señaló al inicio, estamos en el caso de $4\mid$ n (y debido a que el periodo de Lucas números mod $5$ es $4$). Esto implica la integralidad de $a$, lo que implica la deseada factorización de $G_n$.
La recurrencia de los cuadrados de los números de Fibonacci es $$ x_n=2x_{n-1}+2x_{n-2}-x_{n-3} $$ Por lo tanto una repetición de una larga de longitud $3$ implica una repetición de la secuencia completa.
mod $2$, obtenemos $$ \overbrace{0,1,1},\overbrace{0,1,1},\dots $$ Así, por $n\equiv0\pmod3$ tenemos que $F_n^2-28\equiv0\pmod2$
mod $3$, obtenemos $$ \overbrace{0,1,1},1,\overbrace{0,1,1},\dots $$ Así, por $n\no\equiv0\pmod4$ tenemos $F_n^2-28\equiv0\pmod3$
mod $7$, obtenemos $$ \overbrace{0,1,1},4,2,4,1,1,\overbrace{0,1,1},\dots $$ Así, por $n\equiv0\pmod8$ tenemos que $F_n^2-28\equiv0\pmod7$
La única cosa que no se explica anteriormente es de $n\equiv4\pmod{24}$ y $n\equiv20\pmod{24}$.
Recordemos que $F_n=\frac{\alpha^n-\beta^n}{\alpha\beta}$ donde $\alpha$ y $\beta$ son las raíces de $x^2-x-1=0$. Tenga en cuenta que $(\alpha\beta)^2=5$ y $\alpha\beta=-1$. El uso de estas relaciones, no es difícil de obtener $$ \begin{align} 5(F_{2k}^2-28) &=5F_{2k}^2-140\\ &=\alpha^{4k}+\beta^{4k}-142\\ &=\left(\alpha^{2k}+\beta^{2k}\right)^2-144\\ &=\left(L_{2k}-12\right)\left(L_{2k}+12\right) \end{align} $$ donde $L_n=\alpha^n+\beta^n$ es un Número Lucas. En un argumento similar a los mencionados anteriormente, se puede demostrar que $L_{2k}-12\equiv0\pmod5$ incluso $k$ y $L_{2k}+12\equiv0\pmod5$ extraños $k$.
Esto cubre el caso de todos los valores de $n$ para $n\ge6$ desde $L_6=18$ y $L_n$ es monótonamente creciente después de eso.
Los casos por encima de la cubierta de la totalidad de los $n\ge6$, que son los casos para los cuales $F_n^2-28\ge0$. Específicamente:
Si $n$ es impar, $F_n^2-28=3\cdot\frac{F_n^2-28}3$
Si $n=0\pmod4$, $F_n^2-28=\frac{L_n-12}{5}(L_n+12)$
Si $n=2\pmod4$, $F_n^2-28=9\cdot\frac{L_n-12}3\frac{L_n+12}{15}$
El argumento anterior se puede simplificar haciendo caso omiso de los casos mod $2$ y mod $7$ dado que sólo en el caso de la mod $3$ y el de Lucas argumento número es necesario.
Veo que el de Lucas número de identidad ya se ha señalado en otra respuesta, aunque he trabajado en esta respuesta, pero voy a incluir para la integridad.
Después de Steven y robjohn respuestas, parece útil escribir un comando (C++ con GMP) para hacer de Fermat factoring, tratar de escribir un número grande $n$ $x^2 - y^2$, con pequeñas $y.$ leve generalización, necesario para este problema, escribir $$ \color{magenta}{ zn = x^2 - y^2} $$ con pequeñas $z,y.$ Así que, yo hice eso; mucha variedad para los primeros. Ver cómo este método, se detuvo temprano, no detectar pequeños factores tales como $2,3,7.$ Si hay varias maneras de hacer la tarea, el programa imprime la primera docena $(z,y)$ pares; en cualquier caso, $z^2 + y^2$ es no más grande que un obligado proporcionados por el programador (me).
6 8 Fermat: ( 1 , 0 ); ( 1 , 8 ); ( 2 , 3 ); ( 2 , 7 ); ( 2 , 17 ); ( 3 , 6 ); ( 3 , 26 ); ( 4 , 0 ); ( 4 , 5 ); ( 4 , 9 ); ( 4 , 16 ); ( 5 , 4 );
7 13 Fermat: ( 1 , 22 ); ( 3 , 19 ); ( 5 , 16 ); ( 7 , 13 ); ( 9 , 10 ); ( 11 , 7 ); ( 13 , 4 ); ( 15 , 1 ); ( 17 , 2 ); ( 19 , 5 ); ( 21 , 8 ); ( 23 , 11 );
8 21 Fermat: ( 1 , 26 ); ( 3 , 19 ); ( 5 , 12 ); ( 7 , 5 ); ( 9 , 2 ); ( 11 , 9 ); ( 13 , 16 ); ( 15 , 23 ); ( 20 , 24 ); ( 24 , 17 ); ( 28 , 10 );
9 34 Fermat: ( 3 , 29 ); ( 4 , 23 ); ( 5 , 17 ); ( 6 , 11 ); ( 7 , 5 ); ( 8 , 1 ); ( 9 , 7 ); ( 10 , 13 ); ( 11 , 19 ); ( 12 , 25 ); ( 25 , 19 ); ( 26 , 16 );
10 55 Fermat: ( 1 , 22 ); ( 3 , 15 ); ( 5 , 12 ); ( 8 , 7 ); ( 16 , 3 ); ( 20 , 24 ); ( 21 , 8 );
11 89 Fermat:
12 144 Fermat: ( 5 , 12 ); ( 6 , 19 ); ( 20 , 24 ); ( 22 , 7 );
13 233 Fermat:
14 377 Fermat: ( 5 , 12 ); ( 20 , 24 );
15 610 Fermat: ( 2 , 25 ); ( 17 , 1 );
16 987 Fermat: ( 5 , 12 ); ( 20 , 24 );
17 1597 Fermat:
18 2584 Fermat: ( 5 , 12 ); ( 20 , 24 );
19 4181 Fermat:
20 6765 Fermat: ( 5 , 12 ); ( 20 , 24 );
21 10946 Fermat:
22 17711 Fermat: ( 5 , 12 ); ( 20 , 24 );
23 28657 Fermat:
24 46368 Fermat: ( 5 , 12 ); ( 20 , 24 );
25 75025 Fermat:
26 121393 Fermat: ( 5 , 12 ); ( 20 , 24 );
27 196418 Fermat:
28 317811 Fermat: ( 5 , 12 ); ( 20 , 24 );
29 514229 Fermat:
30 832040 Fermat: ( 5 , 12 ); ( 20 , 24 );
31 1346269 Fermat:
32 2178309 Fermat: ( 5 , 12 ); ( 20 , 24 );
33 3524578 Fermat:
34 5702887 Fermat: ( 5 , 12 ); ( 20 , 24 );
35 9227465 Fermat:
36 14930352 Fermat: ( 5 , 12 ); ( 20 , 24 );
37 24157817 Fermat:
38 39088169 Fermat: ( 5 , 12 ); ( 20 , 24 );
39 63245986 Fermat:
40 102334155 Fermat: ( 5 , 12 ); ( 20 , 24 );
41 165580141 Fermat:
42 267914296 Fermat: ( 5 , 12 ); ( 20 , 24 );
43 433494437 Fermat:
44 701408733 Fermat: ( 5 , 12 ); ( 20 , 24 );
45 1134903170 Fermat:
46 1836311903 Fermat: ( 5 , 12 ); ( 20 , 24 );
47 2971215073 Fermat:
48 4807526976 Fermat: ( 5 , 12 ); ( 20 , 24 );
49 7778742049 Fermat:
50 12586269025 Fermat: ( 5 , 12 ); ( 20 , 24 );
51 20365011074 Fermat:
52 32951280099 Fermat: ( 5 , 12 ); ( 20 , 24 );
53 53316291173 Fermat:
54 86267571272 Fermat: ( 5 , 12 ); ( 20 , 24 );
55 139583862445 Fermat:
56 225851433717 Fermat: ( 5 , 12 ); ( 20 , 24 );
57 365435296162 Fermat:
58 591286729879 Fermat: ( 5 , 12 ); ( 20 , 24 );
59 956722026041 Fermat:
60 1548008755920 Fermat: ( 5 , 12 ); ( 20 , 24 );
61 2504730781961 Fermat:
62 4052739537881 Fermat: ( 5 , 12 ); ( 20 , 24 );
63 6557470319842 Fermat:
64 10610209857723 Fermat: ( 5 , 12 ); ( 20 , 24 );
65 17167680177565 Fermat:
66 27777890035288 Fermat: ( 5 , 12 ); ( 20 , 24 );
67 44945570212853 Fermat:
68 72723460248141 Fermat: ( 5 , 12 ); ( 20 , 24 );
69 117669030460994 Fermat:
70 190392490709135 Fermat: ( 5 , 12 ); ( 20 , 24 );
71 308061521170129 Fermat:
72 498454011879264 Fermat: ( 5 , 12 ); ( 20 , 24 );
73 806515533049393 Fermat:
74 1304969544928657 Fermat: ( 5 , 12 ); ( 20 , 24 );
75 2111485077978050 Fermat:
76 3416454622906707 Fermat: ( 5 , 12 ); ( 20 , 24 );
77 5527939700884757 Fermat:
78 8944394323791464 Fermat: ( 5 , 12 ); ( 20 , 24 );
79 14472334024676221 Fermat:
80 23416728348467685 Fermat: ( 5 , 12 ); ( 20 , 24 );
81 37889062373143906 Fermat:
82 61305790721611591 Fermat: ( 5 , 12 ); ( 20 , 24 );
83 99194853094755497 Fermat:
84 160500643816367088 Fermat: ( 5 , 12 ); ( 20 , 24 );
85 259695496911122585 Fermat:
86 420196140727489673 Fermat: ( 5 , 12 ); ( 20 , 24 );
87 679891637638612258 Fermat:
88 1100087778366101931 Fermat: ( 5 , 12 ); ( 20 , 24 );
89 1779979416004714189 Fermat:
90 2880067194370816120 Fermat: ( 5 , 12 ); ( 20 , 24 );
91 4660046610375530309 Fermat:
92 7540113804746346429 Fermat: ( 5 , 12 ); ( 20 , 24 );
93 12200160415121876738 Fermat:
94 19740274219868223167 Fermat: ( 5 , 12 ); ( 20 , 24 );
95 31940434634990099905 Fermat:
96 51680708854858323072 Fermat: ( 5 , 12 ); ( 20 , 24 );
97 83621143489848422977 Fermat:
98 135301852344706746049 Fermat: ( 5 , 12 ); ( 20 , 24 );
99 218922995834555169026 Fermat:
100 354224848179261915075 Fermat: ( 5 , 12 ); ( 20 , 24 );
101 573147844013817084101 Fermat:
102 927372692193078999176 Fermat: ( 5 , 12 ); ( 20 , 24 );
103 1500520536206896083277 Fermat:
104 2427893228399975082453 Fermat: ( 5 , 12 ); ( 20 , 24 );
105 3928413764606871165730 Fermat:
106 6356306993006846248183 Fermat: ( 5 , 12 ); ( 20 , 24 );
107 10284720757613717413913 Fermat:
108 16641027750620563662096 Fermat: ( 5 , 12 ); ( 20 , 24 );
109 26925748508234281076009 Fermat:
110 43566776258854844738105 Fermat: ( 5 , 12 ); ( 20 , 24 );
111 70492524767089125814114 Fermat:
112 114059301025943970552219 Fermat: ( 5 , 12 ); ( 20 , 24 );
113 184551825793033096366333 Fermat:
114 298611126818977066918552 Fermat: ( 5 , 12 ); ( 20 , 24 );
115 483162952612010163284885 Fermat:
116 781774079430987230203437 Fermat: ( 5 , 12 ); ( 20 , 24 );
117 1264937032042997393488322 Fermat:
118 2046711111473984623691759 Fermat: ( 5 , 12 ); ( 20 , 24 );
119 3311648143516982017180081 Fermat:
120 5358359254990966640871840 Fermat: ( 5 , 12 ); ( 20 , 24 );
121 8670007398507948658051921 Fermat:
122 14028366653498915298923761 Fermat: ( 5 , 12 ); ( 20 , 24 );
123 22698374052006863956975682 Fermat:
124 36726740705505779255899443 Fermat: ( 5 , 12 ); ( 20 , 24 );
125 59425114757512643212875125 Fermat:
126 96151855463018422468774568 Fermat: ( 5 , 12 ); ( 20 , 24 );
127 155576970220531065681649693 Fermat:
128 251728825683549488150424261 Fermat: ( 5 , 12 ); ( 20 , 24 );
129 407305795904080553832073954 Fermat:
130 659034621587630041982498215 Fermat: ( 5 , 12 ); ( 20 , 24 );
131 1066340417491710595814572169 Fermat:
132 1725375039079340637797070384 Fermat: ( 5 , 12 ); ( 20 , 24 );
133 2791715456571051233611642553 Fermat:
134 4517090495650391871408712937 Fermat: ( 5 , 12 ); ( 20 , 24 );
135 7308805952221443105020355490 Fermat:
136 11825896447871834976429068427 Fermat: ( 5 , 12 ); ( 20 , 24 );
137 19134702400093278081449423917 Fermat:
138 30960598847965113057878492344 Fermat: ( 5 , 12 ); ( 20 , 24 );
139 50095301248058391139327916261 Fermat:
140 81055900096023504197206408605 Fermat: ( 5 , 12 ); ( 20 , 24 );
141 131151201344081895336534324866 Fermat:
142 212207101440105399533740733471 Fermat: ( 5 , 12 ); ( 20 , 24 );
143 343358302784187294870275058337 Fermat:
144 555565404224292694404015791808 Fermat: ( 5 , 12 ); ( 20 , 24 );
145 898923707008479989274290850145 Fermat:
146 1454489111232772683678306641953 Fermat: ( 5 , 12 ); ( 20 , 24 );
147 2353412818241252672952597492098 Fermat:
148 3807901929474025356630904134051 Fermat: ( 5 , 12 ); ( 20 , 24 );
149 6161314747715278029583501626149 Fermat:
150 9969216677189303386214405760200 Fermat: ( 5 , 12 ); ( 20 , 24 );
151 16130531424904581415797907386349 Fermat:
152 26099748102093884802012313146549 Fermat: ( 5 , 12 ); ( 20 , 24 );
153 42230279526998466217810220532898 Fermat:
154 68330027629092351019822533679447 Fermat: ( 5 , 12 ); ( 20 , 24 );
155 110560307156090817237632754212345 Fermat:
156 178890334785183168257455287891792 Fermat: ( 5 , 12 ); ( 20 , 24 );
157 289450641941273985495088042104137 Fermat:
158 468340976726457153752543329995929 Fermat: ( 5 , 12 ); ( 20 , 24 );
159 757791618667731139247631372100066 Fermat:
160 1226132595394188293000174702095995 Fermat: ( 5 , 12 ); ( 20 , 24 );
161 1983924214061919432247806074196061 Fermat:
162 3210056809456107725247980776292056 Fermat: ( 5 , 12 ); ( 20 , 24 );
163 5193981023518027157495786850488117 Fermat:
164 8404037832974134882743767626780173 Fermat: ( 5 , 12 ); ( 20 , 24 );
165 13598018856492162040239554477268290 Fermat:
166 22002056689466296922983322104048463 Fermat: ( 5 , 12 ); ( 20 , 24 );
167 35600075545958458963222876581316753 Fermat:
168 57602132235424755886206198685365216 Fermat: ( 5 , 12 ); ( 20 , 24 );
169 93202207781383214849429075266681969 Fermat:
170 150804340016807970735635273952047185 Fermat: ( 5 , 12 ); ( 20 , 24 );
171 244006547798191185585064349218729154 Fermat:
172 394810887814999156320699623170776339 Fermat: ( 5 , 12 ); ( 20 , 24 );
173 638817435613190341905763972389505493 Fermat:
174 1033628323428189498226463595560281832 Fermat: ( 5 , 12 ); ( 20 , 24 );
175 1672445759041379840132227567949787325 Fermat:
176 2706074082469569338358691163510069157 Fermat: ( 5 , 12 ); ( 20 , 24 );
177 4378519841510949178490918731459856482 Fermat:
178 7084593923980518516849609894969925639 Fermat: ( 5 , 12 ); ( 20 , 24 );
179 11463113765491467695340528626429782121 Fermat:
180 18547707689471986212190138521399707760 Fermat: ( 5 , 12 ); ( 20 , 24 );
181 30010821454963453907530667147829489881 Fermat:
182 48558529144435440119720805669229197641 Fermat: ( 5 , 12 ); ( 20 , 24 );
183 78569350599398894027251472817058687522 Fermat:
184 127127879743834334146972278486287885163 Fermat: ( 5 , 12 ); ( 20 , 24 );
185 205697230343233228174223751303346572685 Fermat:
186 332825110087067562321196029789634457848 Fermat: ( 5 , 12 ); ( 20 , 24 );
187 538522340430300790495419781092981030533 Fermat:
188 871347450517368352816615810882615488381 Fermat: ( 5 , 12 ); ( 20 , 24 );
189 1409869790947669143312035591975596518914 Fermat:
190 2281217241465037496128651402858212007295 Fermat: ( 5 , 12 ); ( 20 , 24 );
191 3691087032412706639440686994833808526209 Fermat:
192 5972304273877744135569338397692020533504 Fermat: ( 5 , 12 ); ( 20 , 24 );
193 9663391306290450775010025392525829059713 Fermat:
194 15635695580168194910579363790217849593217 Fermat: ( 5 , 12 ); ( 20 , 24 );
195 25299086886458645685589389182743678652930 Fermat:
196 40934782466626840596168752972961528246147 Fermat: ( 5 , 12 ); ( 20 , 24 );
197 66233869353085486281758142155705206899077 Fermat:
198 107168651819712326877926895128666735145224 Fermat: ( 5 , 12 ); ( 20 , 24 );
199 173402521172797813159685037284371942044301 Fermat:
200 280571172992510140037611932413038677189525 Fermat: ( 5 , 12 ); ( 20 , 24 );
201 453973694165307953197296969697410619233826 Fermat:
202 734544867157818093234908902110449296423351 Fermat: ( 5 , 12 ); ( 20 , 24 );
203 1188518561323126046432205871807859915657177 Fermat:
204 1923063428480944139667114773918309212080528 Fermat: ( 5 , 12 ); ( 20 , 24 );
205 3111581989804070186099320645726169127737705 Fermat:
206 5034645418285014325766435419644478339818233 Fermat: ( 5 , 12 ); ( 20 , 24 );
207 8146227408089084511865756065370647467555938 Fermat:
208 13180872826374098837632191485015125807374171 Fermat: ( 5 , 12 ); ( 20 , 24 );
209 21327100234463183349497947550385773274930109 Fermat:
210 34507973060837282187130139035400899082304280 Fermat: ( 5 , 12 ); ( 20 , 24 );
211 55835073295300465536628086585786672357234389 Fermat:
212 90343046356137747723758225621187571439538669 Fermat: ( 5 , 12 ); ( 20 , 24 );
213 146178119651438213260386312206974243796773058 Fermat:
214 236521166007575960984144537828161815236311727 Fermat: ( 5 , 12 ); ( 20 , 24 );
215 382699285659014174244530850035136059033084785 Fermat:
216 619220451666590135228675387863297874269396512 Fermat: ( 5 , 12 ); ( 20 , 24 );
217 1001919737325604309473206237898433933302481297 Fermat:
218 1621140188992194444701881625761731807571877809 Fermat: ( 5 , 12 ); ( 20 , 24 );
219 2623059926317798754175087863660165740874359106 Fermat:
220 4244200115309993198876969489421897548446236915 Fermat: ( 5 , 12 ); ( 20 , 24 );
221 6867260041627791953052057353082063289320596021 Fermat:
222 11111460156937785151929026842503960837766832936 Fermat: ( 5 , 12 ); ( 20 , 24 );
223 17978720198565577104981084195586024127087428957 Fermat:
224 29090180355503362256910111038089984964854261893 Fermat: ( 5 , 12 ); ( 20 , 24 );
225 47068900554068939361891195233676009091941690850 Fermat:
226 76159080909572301618801306271765994056795952743 Fermat: ( 5 , 12 ); ( 20 , 24 );
227 123227981463641240980692501505442003148737643593 Fermat:
228 199387062373213542599493807777207997205533596336 Fermat: ( 5 , 12 ); ( 20 , 24 );
229 322615043836854783580186309282650000354271239929 Fermat:
230 522002106210068326179680117059857997559804836265 Fermat: ( 5 , 12 ); ( 20 , 24 );
231 844617150046923109759866426342507997914076076194 Fermat:
232 1366619256256991435939546543402365995473880912459 Fermat: ( 5 , 12 ); ( 20 , 24 );
233 2211236406303914545699412969744873993387956988653 Fermat:
234 3577855662560905981638959513147239988861837901112 Fermat: ( 5 , 12 ); ( 20 , 24 );
jagy@phobeusjunior:
Este es el comando:
string mp_Factored_Fermat( mpz_class i, int bound)
{
int squarefac = 0;
string fac;
fac = " Fermat: ";
int count = 0;
for(int z = 1; count < 12 && z * z <= bound; ++z){
for(int x = 0; count < 12 && x * x + z * z <= bound; ++x){
if ( mp_SquareQ( z * i + x * x ) )
{
++count;
fac += " ( ";
fac += stringify( z) ;
fac += " , ";
fac += stringify( x) ;
fac += " ); ";
}
}}
return fac;
} // mp_Factored_Fermat
En caso de que alguien se interesa, esta llama
string stringify(unsigned int x)
{
ostringstream o;
o << x ;
return o.str();
}
Yo debería averiguar si existe una relación directa "stringify" comando que hace que una cadena a partir de una mpz_class. Probablemente. SÍ. Si n es un mpz_class, obtenemos una cadena C++ a partir de n.get_str()
Así, en vivo y lomo. El extraño entradas de índice son divisibles por pequeños primos, 2 o 3, detectable rápidamente por la división de juicios, incluso las entradas de índice tiene un enorme factores, detectable rápidamente por una ligera modificación de Fermat técnica favorita.
6 8 = 2^2 cdot 3^2
7 13 = 3 cdot 47
8 21 = 7 cdot 59
9 34 = 2^3 cdot 3 cdot 47
10 55 = 3^4 cdot 37
11 89 = 3^2 cdot 877
12 144 = 2^2 cdot 31 cdot 167
13 233 = 3^2 cdot 6029
14 377 = 3^3 cdot 19 cdot 277
15 610 = 2^3 cdot 3 cdot 37 cdot 419
16 987 = 7 cdot 317 cdot 439
17 1597 = 3 cdot 271 cdot 3137
18 2584 = 2^2 cdot 3^2 cdot 31^2 cdot 193
19 4181 = 3 cdot 5826911
20 6765 = 3023 cdot 15139
21 10946 = 2^3 cdot 3 cdot 4992287
22 17711 = 3^3 cdot 19 cdot 53 cdot 83 cdot 139
23 28657 = 3^2 cdot 37 cdot 47 cdot 137 cdot 383
24 46368 = 2^2 cdot 7 cdot 139 cdot 373 cdot 1481
25 75025 = 3^2 cdot 47 cdot 953 cdot 13963
26 121393 = 3^6 cdot 1117 cdot 18097
27 196418 = 2^3 cdot 3 cdot 6803 cdot 236293
28 317811 = 37 cdot 311 cdot 457 cdot 19207
29 514229 = 3 cdot 103 cdot 227 cdot 3769891
30 832040 = 2^2 cdot 3^2 cdot 62017 cdot 310081
31 1346269 = 3 cdot 604146740111
32 2178309 = 7 cdot 19 cdot 53 cdot 691 cdot 974167
33 3524578 = 2^3 cdot 3 cdot 517610419919
34 5702887 = 3^3 cdot 251 cdot 1093 cdot 1129 cdot 3889
35 9227465 = 3^4 cdot 197 cdot 223 cdot 23928127
36 14930352 = 2^2 cdot 727 cdot 22961 cdot 3338527
37 24157817 = 3^3 cdot 21614819340943
38 39088169 = 3^3 cdot 1942307 cdot 29134597
39 63245986 = 2^3 cdot 3 cdot 47 cdot 384487 cdot 9223063
40 102334155 = 7 cdot 19 cdot 103 cdot 449 cdot 14561 cdot 116927
41 165580141 = 3 cdot 47 cdot mbox{BIG}
42 267914296 = 2^2 cdot 3^2 cdot 31 cdot 587 cdot 34019 cdot 3220831
43 433494437 = 3 cdot 643 cdot 4575983 cdot 21288763
44 701408733 = 271 cdot 1157489 cdot 1568397619
45 1134903170 = 2^3 cdot 3 cdot 3391 cdot 26459 cdot 598143187
46 1836311903 = 3^4 cdot 1979 cdot 138323 cdot 152078453
47 2971215073 = 3^2 cdot 21821 cdot 44952207150209
48 4807526976 = 2^2 cdot 7 cdot 31 cdot 37 cdot 2099 cdot 9887 cdot 34677281
49 7778742049 = 3^2 cdot 69191 cdot 97168751659867
50 12586269025 = 3^3 cdot 19^2 cdot 59 cdot 137 cdot 643 cdot 3127083679
51 20365011074 = 2^3 cdot 3 cdot 3547 cdot 3947 cdot 1234325623303
52 32951280099 = 131 cdot 26431 cdot 557537 cdot 562452689
53 53316291173 = 3 cdot 37 cdot 10771 cdot mbox{BIG}
54 86267571272 = 2^2 cdot 3^2 cdot 141511 cdot 227191 cdot 6430005121
55 139583862445 = 3 cdot 47 cdot 1783 cdot 2939579 cdot 26364214181
56 225851433717 = 7 cdot 1487 cdot 5431 cdot 2656807 cdot 339622837
57 365435296162 = 2^3 cdot 3 cdot 47 cdot 19433 cdot 477767 cdot 12751341727
58 591286729879 = 3^3 cdot 19 cdot 29173 cdot mbox{BIG}
59 956722026041 = 3^2 cdot 19853 cdot mbox{BIG}
60 1548008755920 = 2^2 cdot 3089 cdot 116819 cdot mbox{BIG}
61 2504730781961 = 3^2 cdot 37 cdot 277 cdot 176317 cdot mbox{BIG}
62 4052739537881 = 3^4 cdot 83 cdot 20627 cdot 20693 cdot 39209 cdot 145978529
63 6557470319842 = 2^3 cdot 3 cdot 131 cdot mbox{BIG}
64 10610209857723 = 7 cdot 103 cdot 3407 cdot mbox{BIG}
65 17167680177565 = 3 cdot 2297 cdot mbox{BIG}
66 27777890035288 = 2^2 cdot 3^2 cdot 37 cdot 59 cdot 88169 cdot 398011 cdot 279789416173
67 44945570212853 = 3 cdot 131 cdot 1571 cdot 1901 cdot mbox{BIG}
68 72723460248141 = 19 cdot 139 cdot mbox{BIG}
69 117669030460994 = 2^3 cdot 3 cdot 20897 cdot mbox{BIG}
70 190392490709135 = 3^3 cdot 139 cdot 4451 cdot mbox{BIG}
71 308061521170129 = 3^3 cdot 47 cdot 1229 cdot mbox{BIG}
72 498454011879264 = 2^2 cdot 7 cdot 31 cdot 383 cdot 36877 cdot mbox{BIG}
73 806515533049393 = 3^4 cdot 47 cdot mbox{BIG}
74 1304969544928657 = 3^3 cdot 569 cdot 1627 cdot mbox{BIG}
75 2111485077978050 = 2^3 cdot 3 cdot 103 cdot 15091 cdot mbox{BIG}
76 3416454622906707 = 19 cdot 53 cdot 3838231 cdot mbox{BIG}
77 5527939700884757 = 3 cdot 1091 cdot 7109 cdot mbox{BIG}
78 8944394323791464 = 2^2 cdot 3^2 cdot 31 cdot 131 cdot mbox{BIG}
79 14472334024676221 = 3 cdot 203617 cdot mbox{BIG}
80 23416728348467685 = 7 cdot 2137 cdot 119087 cdot mbox{BIG}
81 37889062373143906 = 2^3 cdot 3 cdot 953 cdot 2801 cdot 2290829 cdot mbox{BIG}
82 61305790721611591 = 3^5 cdot 227 cdot 3929 cdot 10099 cdot 37579 cdot 1334947 cdot 34229552551
83 99194853094755497 = 3^2 cdot 168143 cdot mbox{BIG}
84 160500643816367088 = 2^2 cdot 68099 cdot 95063 cdot mbox{BIG}
85 259695496911122585 = 3^2 cdot 317 cdot mbox{BIG}
86 420196140727489673 = 3^3 cdot 19 cdot 37 cdot 53 cdot 4202911 cdot mbox{BIG}
87 679891637638612258 = 2^3 cdot 3 cdot 47 cdot 29401 cdot 357197 cdot mbox{BIG}
88 1100087778366101931 = 7 cdot 137 cdot 4903 cdot 10223 cdot 187373 cdot 10234897 cdot 13128204456583
89 1779979416004714189 = 3 cdot 47 cdot 1117 cdot mbox{BIG}
90 2880067194370816120 = 2^2 cdot 3^2 cdot 283 cdot 35363 cdot 5160157 cdot 5881991 cdot mbox{BIG}
91 4660046610375530309 = 3 cdot 37 cdot 811 cdot mbox{BIG}
92 7540113804746346429 = 197 cdot mbox{BIG}
93 12200160415121876738 = 2^3 cdot 3 cdot mbox{BIG}
94 19740274219868223167 = 3^3 cdot 19 cdot 7673 cdot 62851 cdot 137707 cdot mbox{BIG}
95 31940434634990099905 = 3^2 cdot 283 cdot 10369 cdot 1328077 cdot mbox{BIG}
96 51680708854858323072 = 2^2 cdot 7 cdot 223 cdot 6111047 cdot mbox{BIG}
97 83621143489848422977 = 3^2 cdot 59951 cdot mbox{BIG}
98 135301852344706746049 = 3^4 cdot 3491 cdot 7027 cdot mbox{BIG}
99 218922995834555169026 = 2^3 cdot 3 cdot 37 cdot 3527 cdot 402137 cdot mbox{BIG}
100 354224848179261915075 = 367 cdot 1063 cdot 860113 cdot mbox{BIG}
101 573147844013817084101 = 3 cdot 647 cdot 81703 cdot mbox{BIG}
102 927372692193078999176 = 2^2 cdot 3^2 cdot 31 cdot 617 cdot 1201 cdot 5813323 cdot mbox{BIG}
103 1500520536206896083277 = 3 cdot 47 cdot mbox{BIG}
104 2427893228399975082453 = 7 cdot 19 cdot 37 cdot 1121453 cdot mbox{BIG}
105 3928413764606871165730 = 2^3 cdot 3 cdot 47 cdot mbox{BIG}
106 6356306993006846248183 = 3^3 cdot 83 cdot 197 cdot 691 cdot 1123 cdot 6131 cdot mbox{BIG}
107 10284720757613717413913 = 3^3 cdot mbox{BIG}
108 16641027750620563662096 = 2^2 cdot 31 cdot 59 cdot 1394177 cdot mbox{BIG}
109 26925748508234281076009 = 3^3 cdot mbox{BIG}
110 43566776258854844738105 = 3^3 cdot 2239 cdot mbox{BIG}
111 70492524767089125814114 = 2^3 cdot 3 cdot 59753 cdot mbox{BIG}
112 114059301025943970552219 = 7 cdot 19 cdot mbox{BIG}
113 184551825793033096366333 = 3 cdot 781063 cdot 1419973 cdot mbox{BIG}
114 298611126818977066918552 = 2^2 cdot 3^2 cdot 139 cdot 337 cdot 1307 cdot mbox{BIG}
115 483162952612010163284885 = 3 cdot 137 cdot mbox{BIG}
116 781774079430987230203437 = 139^2 cdot mbox{BIG}
117 1264937032042997393488322 = 2^3 cdot 3 cdot mbox{BIG}
118 2046711111473984623691759 = 3^4 cdot 349187 cdot mbox{BIG}
I ajuste de la Fermat comando también muestra el número resultante; en este caso cada una de las otras Lucas número
6 8 Fermat: ( 5 , 12 , 18 );
8 21 Fermat: ( 5 , 12 , 47 ); ( 20 , 24 , 94 );
10 55 Fermat: ( 5 , 12 , 123 ); ( 20 , 24 , 246 );
12 144 Fermat: ( 5 , 12 , 322 ); ( 20 , 24 , 644 );
14 377 Fermat: ( 5 , 12 , 843 ); ( 20 , 24 , 1686 );
16 987 Fermat: ( 5 , 12 , 2207 ); ( 20 , 24 , 4414 );
18 2584 Fermat: ( 5 , 12 , 5778 ); ( 20 , 24 , 11556 );
20 6765 Fermat: ( 5 , 12 , 15127 ); ( 20 , 24 , 30254 );
22 17711 Fermat: ( 5 , 12 , 39603 ); ( 20 , 24 , 79206 );
24 46368 Fermat: ( 5 , 12 , 103682 ); ( 20 , 24 , 207364 );
26 121393 Fermat: ( 5 , 12 , 271443 ); ( 20 , 24 , 542886 );
28 317811 Fermat: ( 5 , 12 , 710647 ); ( 20 , 24 , 1421294 );
30 832040 Fermat: ( 5 , 12 , 1860498 ); ( 20 , 24 , 3720996 );
32 2178309 Fermat: ( 5 , 12 , 4870847 ); ( 20 , 24 , 9741694 );
34 5702887 Fermat: ( 5 , 12 , 12752043 ); ( 20 , 24 , 25504086 );
36 14930352 Fermat: ( 5 , 12 , 33385282 ); ( 20 , 24 , 66770564 );
38 39088169 Fermat: ( 5 , 12 , 87403803 ); ( 20 , 24 , 174807606 );
40 102334155 Fermat: ( 5 , 12 , 228826127 ); ( 20 , 24 , 457652254 );
42 267914296 Fermat: ( 5 , 12 , 599074578 ); ( 20 , 24 , 1198149156 );
44 701408733 Fermat: ( 5 , 12 , 1568397607 ); ( 20 , 24 , 3136795214 );
46 1836311903 Fermat: ( 5 , 12 , 4106118243 ); ( 20 , 24 , 8212236486 );
48 4807526976 Fermat: ( 5 , 12 , 10749957122 ); ( 20 , 24 , 21499914244 );
50 12586269025 Fermat: ( 5 , 12 , 28143753123 ); ( 20 , 24 , 56287506246 );
52 32951280099 Fermat: ( 5 , 12 , 73681302247 ); ( 20 , 24 , 147362604494 );
54 86267571272 Fermat: ( 5 , 12 , 192900153618 ); ( 20 , 24 , 385800307236 );
56 225851433717 Fermat: ( 5 , 12 , 505019158607 ); ( 20 , 24 , 1010038317214 );
58 591286729879 Fermat: ( 5 , 12 , 1322157322203 ); ( 20 , 24 , 2644314644406 );
60 1548008755920 Fermat: ( 5 , 12 , 3461452808002 ); ( 20 , 24 , 6922905616004 );
62 4052739537881 Fermat: ( 5 , 12 , 9062201101803 ); ( 20 , 24 , 18124402203606 );
64 10610209857723 Fermat: ( 5 , 12 , 23725150497407 ); ( 20 , 24 , 47450300994814 );
66 27777890035288 Fermat: ( 5 , 12 , 62113250390418 ); ( 20 , 24 , 124226500780836 );
68 72723460248141 Fermat: ( 5 , 12 , 162614600673847 ); ( 20 , 24 , 325229201347694 );
70 190392490709135 Fermat: ( 5 , 12 , 425730551631123 ); ( 20 , 24 , 851461103262246 );
72 498454011879264 Fermat: ( 5 , 12 , 1114577054219522 ); ( 20 , 24 , 2229154108439044 );
74 1304969544928657 Fermat: ( 5 , 12 , 2918000611027443 ); ( 20 , 24 , 5836001222054886 );
76 3416454622906707 Fermat: ( 5 , 12 , 7639424778862807 ); ( 20 , 24 , 15278849557725614 );
78 8944394323791464 Fermat: ( 5 , 12 , 20000273725560978 ); ( 20 , 24 , 40000547451121956 );
80 23416728348467685 Fermat: ( 5 , 12 , 52361396397820127 ); ( 20 , 24 , 104722792795640254 );
Editar:
Voy a mantener mi original en la parte inferior, ya que tiene algún valor en esta cuestión.
Sin considerar la $n:F_n^2-28\lt 0$ (por ejemplo, $n=4,F_4^2-28=9-28=-19$ o mismo para $n=5$), el primer par de valores son, sin duda, compuesto, pero no en una inmediatamente obvio manera.
Aquí es una respuesta buscando en los números de Fermat, que no están bajo discusión para esta pregunta, pero son medianamente interesante en esta luz de todos modos:
Prescindiendo de $F_0=2^{2^0}+1$, tenemos un total de $3\nmid 2^{2^n}+1$ para todos los enteros positivos $n$, $F_n^2\equiv 1\pmod 3$, y $28\equiv 1\pmod 3$ tenemos $F_n^2-28\equiv 0\pmod 3$ para todo $n\gt 0$.
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