Suma de la alternancia de signo de los cuadrados de los números enteros atascado con la prueba por inducción

Question

Tenga en cuenta que $$ UN(1):1=1\\UN(2):1-4=-(1+2)\\UN(3):1-4+9=1+2+3\\UN(4):1-4+9-16=-(1+2+3+4) $$ Hagamos el $A(k)$: $$ Un(k)=1-4+9-...+(-1)^{k+1}k^2=(-1)^{k+1}(1+2+...+k) $$ Establecimiento $A(k+1)$: $$ Un(k+1)=1-4+9-...+(-1)^{k+1+1}(k+1)^2=(-1)^{k+1+1}(1+2+...+k+(k+1)) $$ Sabiendo que: $$ 1+2+...+n=\frac{n(n+1)}{2} $$ Simplificamos lados de la parte derecha de $A(k)$$A(k+1)$: $$ A(k)=(-1)^{k+1}(1+2+...+k)=(-1)^{k+1}\frac{k(k+1)}{2}\\A(k+1)=(-1)^{k+1+1}(1+2+...+k+(k+1))=(-1)^{k+1+1}\frac{(k+1)(k+2)}{2} $$ Entonces estoy tratando de mostrar que el lado derecho de la $A(k+1)$ es igual a $A(k) + (-1)^{k+1+1}(k+1)^2$, pero no funciona para mí. Eso es lo que yo estoy haciendo: $$ A(k+1)=(-1)^{k+1+1}\frac{(k+1)(k+2)}{2}=(-1)^{k+1+1}\frac{k^2+2k+k+2}{2}=(-1)^{k+1+1}(\frac{k(k+1)}{2}+(k+1))=(-1)A(k)+(-1)^{k+1+1}(k+1)=-(A(k)+(-1)^{k+1}(k+1)) $$

¿Qué estoy haciendo mal? Cómo demostrar a $A(k)$ por inducción?

Answer 1

Para demostrarlo por inducción, primer show de cálculo que $A(1)$ es cierto. Entonces asumimos $A(n)$ es verdad y tratar de mostrar a $A(n+1)$ es cierto. Por lo que asumimos $\displaystyle \sum_{i=1}^n (-1)^{i+1} i^2=(-1)^{n+1}\frac 12 n(n+1)$. Ahora evaluamos el lado izquierdo de $A(n+1)$ $$\begin {align} \sum_{i=1}^{n+1} (-1)^{i+1} i^2&=(-1)^{n+1}\frac 12 n(n+1)+(-1)^{n+2}(n+1)^2 \\&=(-1)^{n+2}\left((n+1)^2-\frac 12n(n+1) \right)\\&=(-1)^{n+2}\left((n+1)(n+1-\frac 12n) \right)\\&=(-1)^{n+2}\left(\frac 12(n+1)(n+2) \right)\end {align}$$ and we have derived $Un(n+1)$