Convergencia en la distribución, la probabilidad y la segunda media

Question

Dejemos que $\mathbb P(X=1) = \mathbb P(X=-1) = 1/2$ . Definir

$$X_n = \begin {cases} X & \text{with probability } 1- \frac{1}{n}\\ e^n & \text{with probability } \frac{1}{n} \end {cases}$$

En $X_n \leadsto X$ (es decir, convergen en la distribución)? ¿Se puede encontrar en $X_n \stackrel{P}{\rightarrow} X$ ? ¿? $\mathbb{E}[(X-X_n)^2] \to 0$ ?

Creo que $X_n \leadsto X$ porque sólo con imaginar la FCD a medida que n va al infinito, sus FCD convergen. ¿Puedo obtener alguna confirmación sobre esto?

Pero para la convergencia en probabilidad, tengo problemas con los límites.

Para ello, lo que estoy tratando de hacer es encontrar $\mathbb P(|X_n-X| \leq \epsilon)$ y luego sólo tomar 1 menos eso como se muestra en este sitio: http://www.statlect.com/prbcon1.htm

Si $X_n = X$ entonces $|X_n - X|$ es sólo $0$ así que para todos $n$ , $|X_n -X| < \epsilon$ Pero si $X_n = e^n$ entonces tengo los dos casos para $X$ . Para $X=1$ , $|X_n-X| = |e^n-1| \leq \epsilon$ . y Para $X=-1$ , $|X_n-X| = |e^n +1| = e^n + 1 \leq \epsilon$ . Aquí es donde estoy atascado. Estoy tratando de encontrar condiciones relacionadas con $n$ y $\epsilon$ similar a aquí el ejemplo en el sitio. Pero no estoy seguro de cómo obtener eso de $|e^n - 1| \leq \epsilon$ y $e^n + 1 \leq \epsilon$ .

¿Estoy en el camino correcto?

Answer 1

Para demostrar que $X_n \stackrel{P}{\rightarrow} X$ hay que demostrar que, para cualquier $\epsilon>0$ la secuencia de números reales $\{p_n\}_{n\geq 1}$ definido por $$ p_n = P\{\omega:|X_n(\omega)-X(\omega)|\geq \epsilon\} $$ tiene límite $0$ . Lo que ocurre al ``comienzo'' de la secuencia no cambia su límite. En $n\geq \log(1+\epsilon)$ tenemos $$ P\{\omega:|X_n(\omega)-X(\omega)|\geq \epsilon\} = P\{\omega:X_n(\omega)=e^n\}=\frac{1}{n} \, . $$ Por lo tanto, $p_n\to 0$ y por lo tanto $X_n \stackrel{P}{\rightarrow} X$ .

Como la convergencia en la probabilidad implica la convergencia en la distribución, también tenemos $X_n \leadsto X$ .

Ahora bien, como $$ \begin{align*} \mathbb{E}[(X_n-X)^2]&=0^2\times\left(1-\frac{1}{n}\right) + (e^n+1)^2\times\frac{1}{n}\times\frac{1}{2}+(e^n-1)^2\times\frac{1}{n}\times\frac{1}{2}\\ & = \frac{(e^{2n}+1)}{n}\to\infty \, , \end{align*} $$ no tenemos convergencia en la media cuadrática.