Cauchy-Goursat con contorno triangular

Question

El teorema de Cauchy-Goursat para un contorno triangular dice lo siguiente:

Dejemos que $\triangle=\triangle(a,b,c)$ sea un triángulo en un conjunto abierto $\Omega \subseteq \mathbb{C},p\in \Omega,f:\Omega\rightarrow \mathbb{C}$ continua y f analítica en $\Omega \setminus \{p\}$ . Entonces:

$\int\limits_{\partial\triangle}f(z)dz=0$ , donde $\partial\triangle$ significa sobre y dentro del triángulo $\triangle$ .

La prueba distingue entonces algunos casos en torno a $p$ ...pero, ¿por qué?

1) $p \notin \triangle$

2) $p=a$

3) $p \in \triangle$ al azar.

Entiendo la prueba, pero no entiendo cuál es el propósito de $p$ . ¿Por qué lo mencionamos? ¿Cuál es la idea que hay detrás de esto? Algunos libros no lo mencionan.

Editar:

Prueba

Caso 1: $ p\not\subset\triangle$ . Sea $a',\ b',\ c'$ sean los puntos medios de los segmentos $[b,\ c],\ [c,\ a],\ [a,\ b]$ .

Denotamos con $\triangle^{j}(j=1,2,3,4)$ los triángulos $(a,\ c',\ b'),\ (b,\ a',\ c'),\ (c,\ b',\ a'),\ (a',\ b',\ c')$ . Sea $I =\displaystyle \int_{\partial\triangle}f(z)dz$ . Ahora tenemos: $$ I\ =\sum_{j=1}^{4}\int_{\partial\triangle^{j}}f(z)\mathrm{d}z $$ Hay un $j_{0}\in\{1,2,3,4\}$ para que $$ \left|\int_{\partial\triangle^{j_{0}}}f(z)\mathrm{d}z\right|\geq\frac{|I|}{4} $$ Dejemos que $\triangle_{1}:=\triangle^{j_{0}}$ .

La misma construcción con $\triangle_{1}$ en lugar de $\triangle$ produce un triángulo $\triangle_{2}$ etc. Por inducción obtenemos una secuencia $(\triangle_{n})$ de triángulos con $\triangle\supseteq\triangle_{1}\supseteq\triangle_{2}\supseteq\ldots$ para que

$|I| \displaystyle \leq 4^{n}\left|\int_{\partial\triangle_{n}}f(z)\mathrm{d}z\right|,\ (n\in \mathbb{N})$

Además tenemos la longitud $L(\partial\triangle_{n})=2^{-n}L(\partial\triangle)$ y $\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}$ diam $(\triangle_{n})=0$ porque el diamante $(\triangle_{n})\leq L(\partial\triangle_{n})$ . Se deduce que (Cantor) $$ \triangle \bigcap_{n=1}\triangle_{n}=\{z_{0}\}. $$ Porque $f$ está en $z_{0}$ complejo diferenciable, existe para $\varepsilon>0$ a $r>0$ con $$ |f(z)-f(z_{0})-f'(z_{0})(z-z_{0})|\leq \varepsilon|z-z_{0}|\ (z\in C(z_{0},\ r)\subseteq\Omega) $$ y hay un $n\in \mathbb{N}$ mit $\triangle_{n}\subseteq C(z_{0},\ r)$ . Para ello $n$ que tenemos: $$ |z-z_{0}|\leq 2^{-n}L(\partial\triangle)\ (z\in\triangle_{n}) $$ Además: $$ \int_{\partial\triangle_{n}}f(z)\mathrm{d}z=\int_{\partial\triangle_{n}}f(z)-f(z_{0})-f'(z_{0})(z-z_{0})\mathrm{d}z $$

Lo tenemos: $$ \left|\int_{\partial\triangle_{n}}f(z)\mathrm{d}z\right|\leq \varepsilon\cdot(2^{-n}L(\partial\triangle))^{2} $$ y por lo tanto $$ |I|\leq 4^{n}\left|\int_{\partial\triangle_{n}}f(z)\mathrm{d}z\right|\leq \varepsilon(L(\partial\triangle))^{2} $$ Porque $\varepsilon>0$ fue elegido arbitrariamente, $I =0$ sigue.

$\color{red}{\text{In my point of view, we are now completely done with the proof. But the proof continues, see below}}$

Caso 2:

Ahora, dejemos que $p$ sea un vértice de $\triangle$ Por ejemplo, dejemos que $p=a$ . Si $a,\ b,\ c$ se encuentran en la misma línea, entonces tenemos trivialmente $I=0$ . Si no, elegimos $x\in[a,\ b],y\in[a,\ c]$ cerca de $a$ .

Entonces tenemos: $$ \displaystyle \int_{\partial\triangle}f(z)\mathrm{d}z=\int_{\partial\triangle(a,x,y)}f(z)\mathrm{d}z+\int_{\partial\triangle(x,b,y)}f(z)\mathrm{d}z+\int_{\partial\triangle(b,c,y)}f(z)\mathrm{d}z $$ $$ =\int_{\partial\triangle(a,x,y)}f(z)dz. $$ Porque podemos hacer $L(\partial\triangle(a,x,\ y))$ arbitrariamente pequeño, $I =0$ sigue.

Caso 3: Si $ p\in\triangle$ de forma arbitraria, $I =0$ se deduce del caso 2:

$$ \displaystyle I\ =\int_{\partial\triangle(a,b,p)}f(z)\mathrm{d}z+\int_{\partial\triangle(b,c,p)}f(z)\mathrm{d}z+\int_{\partial\triangle(c,a,p)}f(z)\mathrm{d}z=0 $$

$\color{red}{\text{Why the hassle of introducing } p?}$

Answer 1

La introducción de $p$ debilita las hipótesis del teorema: $f$ no se supone que sea diferenciable en $p$ . En efecto, junto con el habitual teorema de Goursat (integral de función compleja diferenciable sobre un contorno cerrado es cero) estamos tratando con el removilidad de un punto para funciones holomorfas continuas. (Un conjunto $E$ es removible para funciones holomorfas continuas en $\Omega$ si toda función continua sobre $\Omega$ que es holomorfo en $\Omega\setminus E$ es realmente holomorfa en $\Omega$ . Ver ¿Qué conjuntos son extraíbles para las funciones holomorfas? )

Me parece que combinar estas dos cuestiones dentro del mismo teorema hace que su significado sea menos claro. Se puede recuperar algo de claridad dividiéndolo en dos teoremas. El caso $p\notin \triangle$ no implica $p$ en absoluto: se trata de un teorema estándar que normalmente se encuentra en un libro de texto. Las partes 2 y 3 introducen el mencionado aspecto de la removilidad: obtenemos la misma conclusión sin suponer la diferenciabilidad en un punto $p$ .