¿Cómo puedo demostrar que $\overline{\mathbb{Q}} := \{\alpha \in \mathbb{C}\mid \alpha\text{ is algebraic over }\mathbb{Q} \}$ es algebraicamente cerrado?

Question

¿Cómo puedo demostrar que $\overline{\mathbb{Q}} := \{\alpha \in \mathbb{C}\mid \alpha\text{ is algebraic over }\mathbb{Q} \}$ es algebraicamente cerrado? Estoy pensando en resolver esto usando eso $\mathbb{C}$ es algebraicamente cerrado, pero no sé cómo proceder a partir de aquí.

Answer 1

Dejemos que $f=a_0+a_1x+\dots+a_nx^n$ sea un polinomio con coeficientes en $\bar{\mathbb{Q}}$ Entonces $f$ tiene coeficientes en $K=\mathbb{Q}[a_0,\dots,a_n]$ que es de dimensión finita sobre $\mathbb{Q}$ . Un campo de división para $f$ en $K$ es de dimensión finita sobre $K$ por lo tanto, sobre $\mathbb{Q}$ . Así que las raíces de $f$ están en una extensión dimensional finita de $\mathbb{Q}$ lo que significa que son algebraicas sobre $\mathbb{Q}$ .

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Notas

1. Si $b$ es algebraico sobre $\mathbb{Q}$ entonces $\mathbb{Q}[b]=\mathbb{Q}(b)$ es de dimensión finita sobre $\mathbb{Q}$

2. Por inducción, si $b_1,\dots,b_k$ son algebraicas sobre $\mathbb{Q}$ entonces también $\mathbb{Q}[b_1,\dots,b_k]$ es de dimensión finita sobre $\mathbb{Q}$ .

3. El campo de división $K$ se puede suponer que es un subcampo de $\mathbb{C}$ porque $\mathbb{C}$ es algebraicamente cerrado.

4. El campo de división de un polinomio en $K[x]$ es de dimensión finita, porque está generada por las raíces de $K$ que son algebraicas sobre $K$ y se puede utilizar el mismo argumento que en 1 y 2.

Answer 2

Es una proposición más general: Sea L una extensión de K.Si L es algebraicamente cerrada entonces el conjunto de elementos de L algebraicos sobre K es también algebraicamente cerrado. ¡En su caso L es C y K es Q!