Equivalencia de una definición alternativa de la derivada.

Question

Mi profesor de cálculo definió la derivada de una función real $f$ de la siguiente manera :

"Dejemos $f\colon \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb R$ sea una función. Entonces $f$ se dice que es diferenciable en un punto $a \in\mathbb R$ si $\exists$ una función $\psi$ tal que :

1) $(\forall h \in\mathbb{R}): f(a+h) = f(a) + mh + h(h)$

2) $\psi$ es continua en $0$

3) $\psi(0) = 0$

Entonces denotamos la derivada de $f(x)$ como $f'(x) = m$ "

Mi problema en esta definición es el siguiente: Puedo ver que reordenando los términos $f(a)$ y luego dividiendo por h obtenemos la definición regular del límite. No veo cuál es el significado de $\psi$ .

Answer 1

El hecho de que $\psi$ es continua en $0$ es útil para demostrar teoremas. Intenta demostrar la regla de la cadena utilizando la definición estándar. Y luego intenta demostrarla utilizando la nueva definición. Verás que es mucho más fácil conseguir una demostración utilizando la nueva definición.

Answer 2

De la nueva definición,

$$\psi(h)=\frac{f(a+h)-f(a)}h-m.$$

Si se toma el límite para $h\to0$ ,

$$\lim_{h\to0}\psi(h)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}h-m=f'(a)-m.$$

Así que $m$ desempeña el papel de la derivada y $\psi$ es un término de error, es decir, el ajuste necesario cuando $h$ es distinto de cero. Para $m$ para igualar la derivada, necesitamos que el término de error desaparezca para $h\to0$ .

A modo de ilustración, una sinusoide, la tangente en $x=1$ y la función de error.

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Nota técnica:

Las propiedades 2) y 3) de $\psi$ son otra forma de expresar que $\lim_{h\to0}\psi(h)=0$ .