La unión de una estrictamente creciente de la secuencia de cierre de las teorías en un lenguaje finito tiene una infinita modelo

Question

La unión de una estrictamente creciente de la secuencia de cierre de las teorías en un lenguaje finito tiene una infinita modelo.

Este es un ejercicio en el libro de Chang-Keisler. No tengo ninguna idea para probarlo. Yo sólo sé que la unión de una estrictamente creciente de la secuencia de cierre de las teorías es una constante cerrado la teoría de que no es finitely axiomatizable, y también que el modelo de la unión consistente en el aumento de las teorías es también el modelo de cada teoría. Si la unión se completa el problema estaría resuelto.

Answer 1

No quiero regalar a todo el problema, pero aquí hay un par de consejos para empezar:

• En primer lugar, mostrar que si $\Sigma$ es un lenguaje finito, a continuación, para cada una de las $n$ hay sólo un número finito $\Sigma$-estructuras de cardinalidad $\le n$ (hasta el isomorfismo). De hecho, más es cierto: cada finito $\Sigma$-estructura se caracteriza hasta el isomorfismo por una sola $\Sigma$a la sentencia. Esto no es necesario, sin embargo.

• La próxima, recuerda que por el teorema de compacidad, si una teoría ha arbitrariamente grande finito de modelos, luego se tiene una infinidad de modelos.

• Así que supongamos $(T_i)_{i\in\mathbb{N}}$ es un aumento de la secuencia de cerrado teorías que $T:=\bigcup T_i$ no tiene infinito modelo. A continuación, algunos de los $T_i$ satisface "hay en la mayoría de las $n$ elementos en el dominio" para algunos $n$; en particular, por la primera de puntos hay algunas conjunto finito de estructuras de $\{\mathcal{M}_1,...,\mathcal{M}_k\}$ de tal forma que cada modelo de $T_i$ es isomorfo a uno de los $\mathcal{M}_j$s.

• Ahora, supongamos $S_2$ es un cerrado teoría correctamente contengan $S_1$. ¿Qué se puede decir sobre el conjunto de modelos de $S_2$ en comparación con el conjunto de modelos de $S_1$? Mirando hacia atrás a los anteriores puntos, ¿qué dice esto acerca de cualquier aumento de la secuencia de $(T_i)_{i\in\mathbb{N}}$ cerrado de teorías cuya unión no tiene infinitos modelos?