Un problema en delimitada invertible operador lineal en un espacio de Banach

Question

Deje $X$ ser un espacio de Banach. Deje $T : X \to X$ ser invertible lineal operador y $M > 0$ ser tal que $\|T^{-k}\| \le M$ para todos los $k \ge 1$. Demostrar que $\inf_ {n\ge1} \|T^n(x)\| > 0$ todos los $x \ne 0$ en X.

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Estoy totalmente indefenso. Puedo obtener ayuda?

Answer 1

Desde $\|T^{-k}\| \leq M$ todos los $k \geq 1$, por definición $\|T^{-k}(x)\| \leq M\|x\|$. $\|x\| = \|id(x)\| = \|T^{-n}(T^{n}x)\| \leq \|T^{-n}\|\|T^n x\| \leq M\|T^n x\|$. Parece que estamos hecho.