No hay necesidad de estimar/enlazado a la diferencia entre
$\displaystyle\;\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n\;$ $\displaystyle\;\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}\;$ .
En la expansión
$$\left(1+\frac{1}{n}\right)^n = \sum_{k=0}^n \frac{n!}{k!(n-k)!}\frac{1}{n^k} =\sum_{k=0}^\infty \frac{\alpha_{n,k}}{k!}\quad\text{con}\quad\alpha_{n,k} = \begin{cases}
\displaystyle\;\prod_{\ell=0}^{k-1}\left(1 -\frac{\ell}{n}\right), & k \le n
\\
0,&k > n
\end{casos}$$
Si uno fix $k$ y se miran el uno $\alpha_{n,k}$ como una secuencia de $n$, se encuentra que
no es negativo, monótona creciente y converge a$1$$n \to \infty$.
Es evidente $\displaystyle\;\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}\;$ converge para algún número finito. Por la monotonía teorema de convergencia (para las secuencias), podemos intercambiar el orden de límite y suma y obtener
$$
e \stackrel{def}{=} \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n
= \lim_{n\to\infty}\lim_{N\to\infty} \sum_{k=0}^N \frac{\alpha_{n,k}}{k!}
=\lim_{N\to\infty}\lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^N \frac{\alpha_{n,k}}{k!}\\
= \lim_{N\to\infty}\sum_{k=0}^N\frac{1}{k!}
\stackrel{def}{=} \sum_{k=0}^\infty\frac{1}{k!}
$$
¿Por qué funciona esto? La clave es que cuando $\alpha_{n,k}$ es no decreciente en $n$, podemos reescribir
el límite de una suma doble sobre los números negativos
$$\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^\infty \frac{\alpha_{n,k}}{k!} =
\sum_{k=0}^\infty\sum_{\ell=0}^\infty\frac{\alpha_{\ell,k}-\alpha_{\ell-1,k}}{k!}
$$
y la suma de una colección de no-números negativos son independientes de la orden de realizar la suma!
