Ondícula de sombrero mexicano en coordenadas polares

Question

Estoy interesado en el marco de wavelet para coordenadas polares.

En el documento de Hou&Qin (2012) se propuso un método general para la definición de las ondículas MH en una determinada variedad. En resumen, primero hay que resolver un problema de difusión para condiciones iniciales singulares, y luego diferenciar la solución para obtener la ondícula.

No es fácil resolver el problema de la difusión en el marco polar cuando la fuente está desplazada del origen (en realidad debería ser un anillo singular). ¿Alguien sabe la solución para este problema, o simplemente conoce el aspecto de la MH-wavelet en el marco polar?

Un enfoque alternativo puede ser el de la tontería. Hay una forma bien conocida de definir una función de Bessel con integración angular de la onda plana:

$$J_0(kr) \sim \int_0^{2\pi} d\alpha\,\exp[- i k r \cos\alpha]$$

Con esta integración utilizamos la simetría axial de algún campo, eliminando así la coordenada angular.

Dejemos que $\phi(x-a,s)$ sea una ondícula 1-D en marco cartesiano, centrada en $a$ . Puedo definir la ondícula polar de forma similar:

$$\psi(r, a,s) = \int_0^{2\pi} d\alpha\,\phi(r \cos\alpha - a, s)$$

Gracias de antemano.

Answer 1

He decidido seguir la receta de Hou&Qin citada anteriormente y expresar la ondícula radial mediante la solución del problema de difusión. Esta última se ha obtenido mediante la transformada de Hankel de la ecuación de la función de Green para el problema dependiente del tiempo, siguiendo lección de S. Gustafson adoptada para las coordenadas cilíndricas. Lo traeré en breve.

Dejemos que $G = G(r, q; s)$ satisface la ecuación \begin{align} & \partial_s G - \Delta_r G = \frac{\delta(r - q)}{r}\,\delta(s) \\ & G = 0 \quad\text{for}\quad s < 0 \end{align} donde $\Delta_r$ es la parte radial del laplasiano en coordenadas polares. Expresa la solución en términos de funciones de bessel cilíndricas, luego resuelve la EDO de resiliencia, sin olvidar la "condición de salto" en $s = 0$ : \begin{gather} \partial_s \hat{G} + k^2 \hat{G} = J_0(kq)\,\delta(s) \\ \hat{G}(k, q; s) = J_0(kq)\,e^{-k^2 s} \\ G(r, q; s) = \int_0^\infty dk\,k\,J_0(kr)\,J_0(kq)\,e^{-k^2 s} \end{gather} Esta es la función de Green del problema dependiente del tiempo y esta es la solución para el problema de difusión en coordenadas cilíndricas radiales, para condiciones iniciales singulares.

Además, definamos la ondícula así: $$ \Psi(r, q; s) \equiv \partial_s G(r, q; s) = - \int_0^\infty dk\,k^3\,J_0(k r)\,J_0(k q)\,e^{- k^2 s} $$ Para un determinado $f = f(r)$ su transformación debe ser definida como $$ \tilde{f}(q; s) \equiv \int_0^\infty dr\,r\,\Psi(r, q; s)\,f(r) $$ Es fácil demostrar que la función $$ \Phi(r, q; s) \equiv - 2 \int_0^\infty dk\,k\,J_0(k r)\,J_0(k q)\,e^{- k^2 s} $$ nos da la transformada inversa: $$ f(r) = \int_0^\infty dq\,q \int_0^\infty ds\,\Phi(r, q; s)\,\tilde{f}(q; s) $$ Y no te olvides de la dualidad: $$ \int_0^\infty dq\,q \int_0^\infty ds\,\Phi(r, q; s)\,\Psi(p, q; s) = \frac{\delta(r - p)}{r} $$

Otras cosas buenas, como la condición de compatibilidad, $\partial_s \tilde{f} = \Delta_q \tilde{f}$ y la fórmula de reconstrucción local también se satisfacen.

Gracias a todos los que se preocuparon.