Probando dos funciones continuas que tomar todos los valores en el intervalo debe intersectar

Question

Considere la posibilidad real continua las funciones con valores de $f$$g$, definida sobre el intervalo de $I$. En $I$, $f$ y $g$ cada uno en $a$$b$, y por lo tanto, tomar en valores en $[a,b]$. Me gustaría demostrar que no debe ser un $x$ $I$ donde $f(x) = g(x)$. Intuitivamente, esto es evidente por la definición de continuidad; sin embargo, he sido incapaz de demostrarlo.

Aquí es lo que he podido hacer hasta ahora:

Considere la posibilidad de $h(x) = f(x) - g(x)$. WLOG, asume que en el inicio de $I$, $f > g$, de modo que $h > 0$. Ahora, si me puede mostrar que en algún punto de $g >= $f, QED, por el Teorema del Valor Intermedio. Sin embargo, no he sido capaz de demostrar que existe un punto donde $g >= $f.

Yo puedo hacer una intuitiva argumento de que esto es así, porque si $g$ es siempre limitada por $f$ y nunca igual a $f$, $g$ va a ser "atrapados" y no es capaz de tomar en $b$. Sin embargo, incluso esto no es claro, porque quizás $f > $g y $g$ alcance $b$ al $f > b$.

Un enfoque alternativo es que ya que existe un mínimo de $\epsilon$ tal que $f = g + \epsilon$. Mostrar que $\epsilon$ debe ir a cero; de nuevo, no estoy seguro de cómo probar esto.

Por último, las costuras para mí que el Valor medio Teorema que podría ser útil, pero, de nuevo, no puedo calcular un medio a utilizar.

Un par de notas:

1. Pensé que de este problema, mientras que teniendo en cuenta la conocida cerebro teaser de una persona subiendo por una montaña en el día 1, y una persona de escalada en la misma montaña en el día 2, que debe ser un lugar donde tanto las personas estaban en al mismo tiempo.

2. Si me indebidamente cualquier terminología en la redacción de este problema, por favor, editar y corregir.

3. Mi afirmación de ser verdad si yo relajado las condiciones iniciales para ser sólo todos los valores en $(a,b)$? Y, ¿importa si el intervalo de $I$ es abierto o cerrado (creo que no.)

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ACTUALIZACIÓN

Para responder a los comentarios, voy a aclarar las condiciones dadas. Si no existe mejor terminología que no necesitaría de corrección, por favor, ayúdame a usar.

1. Intervalo de $I$ es un abierto o cerrado intervalo de $p$ $q$
2. $f$ $g$ son continuas las funciones con valores reales definida en $I$
3. Existe valores de $r,s,t,u$ $I$ tal que $f(r) = a, f(s) = b, g(t) = a, g(u) = b$. He llamado a esta "f y g cada uno en a y b"; si no es mejor la terminología, por favor dígame.
4. En virtud de la #3 y el Teorema del Valor Intermedio, llego a la conclusión de que para todos los $v$$[a,b]$, existe un $w$ $z$ $I$ tal que $f(w) = g(z) = v$. Esto es a lo que me refiero que "f) y g) tomar todos los valores en [a,b]".

Para responder a las preguntas:

• Parece que debo asumir que las $I$ es finito.
• $[a,b]$ es un subconjunto de a $f(I)$, no necesariamente iguales.

Y, gracias a los comentaristas, quienes señalaron que necesito otra condición clave: f y g están delimitadas por $[a,b]$.

Answer 1

Creo que tenemos que asumir $a \le f(x) \le b$ $a \le g(x) \le b$todos los $x \in I$ . De otra forma se le puede hacer $[a,b] = [1,2]$, $I = [0,1]$, $f(x) = 1000x$ y $g(x) = 1000x + .05$.

Deje $f(x_1) = b$$g(x_1) \le b$. Si $g(x_1) = b$ lo hace de manera suficiente para asumir la $f(x_1) < b$. Deje $g(x_2) = b$ (suficiente para asumir la $x_2 \ne x_1$), a continuación, $f(x_2) \le b$ (suficiente para asumir la $f(x_2) < b$).

Así que si $h(x) = f(x) - g(x)$ $h$ es continua y $h(x_1) < 0$ $h(x_2) > 0$ como así, por el teorema del valor Intermedio hay un $c$$x_1$$x_2$, de modo que $h(c) = f(c) - g(c) = 0$.

(A menos que, por supuesto, $f(x_1) = g(x_1) = b$ o $f(x_2) = g(x_2) = b$.)

No tiene que ser así para$(a,b)$$a < f(x) < b$$a < g(x) < b$. Deje $f(x) = x$ $g(x) = x^2$ $I=(a,b) = (0,1)$ tenemos $g(x) < f(x)$ todos los $x\in (0,1)$ y tenemos todos los valores de $(0,1)$ ser alcanzado por ambas $f$$g$.

Answer 2

Finalmente, con la última condición clave, esto se convierte en una declaración verdadera. He aquí una posible manera de demostrarlo, a lo largo de las líneas de lo que estaban haciendo. WLOG, vamos a suponer que $a<b$ (que ha ido asumiendo a lo largo de, supongo, a juzgar por el aspecto del intervalo de $[a,b]$.) Entonces sabemos que el$a\le f(x)\le b$$a\le g(x)\le b$$I$, y tanto $f$ $g$ alcanzar tanto el $a$$b$$I$.

Deje $h(x)=f(x)-g(x)$, como usted sugiere. Deje $x_1$ $x_2$ ser algunos puntos donde la $f(x_1)=a$$f(x_2)=b$. Si también se $g(x_1)=a$ o $g(x_2)=b$, hemos terminado. De lo contrario, sabemos que: $g(x_1)>a=f(x_1)$ e lo $h(x_1)<0$; y $g(x_2)<b=f(x_2)$ e lo $h(x_2)>0$. Ahora aplique el Teorema del Valor Intermedio en $[x_1,x_2]$ o $[x_2,x_1]$ (dependiendo de cuál está a la izquierda o a la derecha).