¿Por qué el infinito multiplicado por cero se considera cero aquí?!

Question

Vi un video en internet de conferencias por parte de algún profesor y ella fue la solución de una convergencia problema de la alimentación de la serie $$\sum_{n=1}^\infty n!x^n,$$ i.e., she was finding the values of $x$ para que este poder de la serie es convergente.

Ella hizo la prueba de razón y aliento hasta con $(n+1)x$ y ahora ella comenzó a calcular el límite de esta cosa como $n$ enfoques infinito y ahí es donde mi confusión comenzó!

Ella dijo que :

i) Si $x \neq 0$, el límite es el infinito (y estoy de acuerdo con eso).

ii) Si $x = 0$, el límite es de $0$ (esto es lo que no estoy de acuerdo porque si $x = 0$, e $n$ enfoques infinito, debería tener la forma indeterminada de $0\cdot\infty$. Entonces, ¿por qué ella decide hacerlo de cero?

P. S. Aquí está el video que os estoy hablando, y que este problema se inicia aproximadamente después de los 6 min

https://www.youtube.com/watch?v=M8cojIKoxJg

Me encantaría si puedo tener esta confusión se clasifican. Gracias!

Answer 1

$\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$ es formalmente el límite de $\lim_{n\rightarrow\infty}s_{n}$ donde $s_{n}=\sum_{k=1}^{n}a_{k}$.

En el caso que usted menciona ($x=0$) tenemos $s_{n}=0$ por cada $n$, por lo tanto $\lim_{n\rightarrow\infty}s_{n}=0$

Answer 2

Vale la pena señalar que a pesar de $+\infty\times0$ es una forma indeterminada (el cual es una declaración sobre el límite de un producto de expresiones en las que un factor que tiende a $+\infty$ y el otro factor a$~0$), no hay absolutamente ninguna ambigüedad acerca de la suma de un número infinito de términos, todos (exactamente) igual a$~0$; esta suma es$~0$, siempre*. El valor de una infinita suma se define como el límite (si existe) de la secuencia de finito de sumas parciales de los términos. Ya que en el caso bajo consideración todas aquellas sumas parciales se$~0$, su límite (y por lo tanto la suma infinita) es claramente$~0$.

Infinitas sumas de iguales términos se no es lo mismo que multiplicar ese valor por$~\infty$.

Por cierto, no hay ambigüedad, ya sea acerca de una suma con $0$ términos, incluso si ese término podría ser $+\infty$; ya que el término nunca se produce en realidad, su problema potencial nunca se produce, y el vacío de la suma es$~0$. Uno podría pensar en una suma igual a $\sum_{n=1}^0\frac1{n-1}$ cuando el plazo para $n=1$ sería problemático, sin embargo, la sumatoria de forma inequívoca tiene valor$~0$. De manera similar a los productos que no los factores en todos los se$~1$$0!=1$. Por alguna razón que yo no quiero entrar en aquí algunas de las personas objeto de la presente evaluación de los vacíos de productos si se toma la forma $0^0=1$, incluso a pesar de que es exactamente el mismo producto como $0!$ (es decir, uno sin ningún tipo de factores en todos).

*Técnicamente excluyendo algunas situaciones donde el límite se las arregla para no ser definida de forma única, por lo que podría ocurrir si se toma en un espacio de no-Hausdorff topología. Usted puede ignorar esto.

Answer 3

Si $x\neq0$, a continuación, la secuencia de $(n+1)x$ aumenta sin límite como $n$ aumenta, por lo que la secuencia tiende a infinito.

Si $x=0$ $(n+1)x=0$ todos los $n$, por lo que la secuencia es constante $0$. De ahí su límite también es $0$.

Answer 4

La suma de $\sum_{n=1}^\infty n!x^n$, es igual a cero en $x=0$ porque si $x=0$, entonces la suma se simplifica a $\sum_{n=1}^\infty 0=0$

Para demostrar que se simplifica a:

$n!x^n$ $x=0$ hace $n!0^n$. Desde $0^n=0$ todos los $n\ne0$ y que la suma se inicia a partir de $1$ lo que significa que $n$ nunca $0$. Esto significa que $n!0^n=n!\times0=0$

Answer 5

De forma intuitiva:

• Cuando x=0 y n=1, el término es 0.
• Cuando x=0 y n=2, el término es 0. 0 + 0 = 0.
• Cuando x=0 y n=3, el término es 0. 0 + 0 = 0.

Mantener el aumento de n para siempre, mantenga la adición de ceros, el valor de la suma no sea 0?

Por lo tanto el límite de esta secuencia es 0.