Supongamos que $(\mathscr X, \mathscr B)$ es un espacio medible y denotan $\Omega = \mathscr X^n$ y deje $\mathscr F$ ser su producto $\sigma$-álgebra. Considere dos medidas de $\nu$ $\tilde \nu$ $\Omega$ con la condición de que $$ |\tilde \nu(B_0\times\dots\times B_n) - \nu(B_0\times\dots\times B_n)|\leq \epsilon $$ para cualquier colección de $B_0,\dots,B_n\in \mathscr B$. Me pregunto cómo probar (si es cierto) que $$ |\tilde\nu(F) - \nu(F)|\leq \epsilon $$ donde $F\in \mathscr F$ es arbitrario. Agradezco cualquier sugerencia.
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No es cierto. Considere el caso $n=2$, ${\mathscr X} = \{0,1\}$, donde $\nu$ da masa $1$ a los puntos de $(0,0)$ $(1,1)$ $0$ a los demás, mientras que la $\tilde{\nu}$ da masa $1$ $(0,1)$ $(1,0)$ $0$a los demás. A continuación, para $F = \{(0,0),(1,1)\}$ hemos $\nu(F) - \tilde{\nu}(F) = 2$, pero $|\nu(A \times B) - \tilde{\nu}(A \times B)| \le 1$ todos los $A, B$.
Davide Giraudo
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Tomar $X=\{0,1\}$, $n=2$, $\nu=\frac 25\delta_{0,0}+\frac 25\delta(1,0)+\frac 25\delta (1,1)$ y $\widetilde \nu=\delta(0,1)$. Tenemos $|\nu\{(i,j)\}-\widetilde \nu \{(i,j)\}|\leq 1$$i,j\in \{0,1\}$, y $|\mu(\{1\}\times X)-\widetilde\mu(\{1\}\times X)|=|\frac 25-1|=3/5\leq 1$, $|\mu(\{0\}\times X)-\widetilde\mu(\{0\}\times X)|=|\frac 45-1|=1/5\leq 1$, $|\mu(X\times \{0\})-\widetilde\mu(X\times \{0\})|=|\frac 25-1|=3/5\leq 1$, $|\mu(X\times \{1\})-\widetilde\mu(X\times \{1\})|=|\frac 45-0|=4/5\leq 1$ y $|\mu(X\times X)-\widetilde\mu(X\times X)|=|\frac 65-1|=1/5\leq 1$.
Pero si $F=\{(0,0)\}\cup\{(0,1)\}\cup\{(1,1)\}$, $\nu(F)=6/5$ pero $\widetilde \nu(F)=0$.
