Para mostrar el cierre de un gráfico en una aplicación del Teorema de Gráficos Cerrados

Question

Aquí hay una vieja pregunta de examen con la que estoy luchando:

Dejemos que E sea un espacio de Banach y $ (x_n)_{n \in N} \subset E $ de tal manera que $ \sum_ {n=1} ^{ \infty } | \langle x_n , x^* \rangle | < \infty $ para todos funciones lineales continuas $ x^* \in E^* $ .

Muestra que entonces existe una constante $ C < \infty $ de tal manera que $$ \sum_ {n=1} ^{ \infty } | \langle x_n , x^* \rangle | \leq C||x^*|| .$$

Lo que sé es que debería mostrar que el gráfico de un mapa lineal $ T: E^* \rightarrow l^1 $ se cierra y entonces la continuidad de $ T $ seguiría del teorema del gráfico cerrado.

Pero el problema es que no tengo ni idea de por dónde empezar a mostrar el cierre del gráfico.

Answer 1

Bueno, no estoy usando el teorema del gráfico cerrado en realidad, sino que estoy usando el teorema de Banach-Steinhaus, que es un corolario del Principio de Límites Uniformes. (Creo que es posible deducir cada uno de ellos usando el otro.)

Como dijiste, definiremos un mapa continuo a partir de $E^* \to \ell ^1$ .

Defina $T_{k} : E^* \to \ell ^1$ por $T_k(x^*) = (x^*(x_1) , \ldots , x^*(x_k), 0,0 \ldots ) $ . Es fácil ver que cada uno $T_k$ es lineal.

Probamos que está limitado. En efecto,

$||T_k(x^*)||_{ \ell ^1} = \sum_ {i=1}^{k} |x^*(x_i)| \le \sum_ {i=1}^{k} ||x^*|| ||x_i|| = \left ( \sum_ {i=1}^{k} ||x_i|| \right ) ||x^*||$ .

Ahora, por su hipótesis, $T_k(x^*)$ converge como $k \to \infty $ para cada uno $x^* \in E^*$ .

Por lo tanto, por BST, $T(x^*) := \lim _{k \to \infty } T_k(x^*)$ es un operador lineal limitado.

Esto te da la conclusión.