Poisson integral de fórmula

Question

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Evaluar $$\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{\rho^2+r^2-2r\rho \cos(t-\theta)}dt.$$

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He encontrado esto en virtud de algunos de los ejercicios acerca de Poisson integral de la fórmula, para mi sorpresa, el problema parece simple pero no tengo una sola idea de cómo se vaya con él. Puede alguien ayudar?

Answer 1

Deje $z = \mathrm{e}^{i (t - \theta)}$, y asumiendo $\rho \not= r$, obtenemos $$ \int_0^{2 \pi} \frac{1}{\rho^2 + r^2 - 2 r \rho \cos(t - \theta) } \mathrm{d}t = \cualquier \frac{1}{ r^2 + \rho^2 - r \rho \left( z + z^{-1} \right)} \cdot \frac{1}{i} \frac{\mathrm{d} z}{z} = \cualquier \frac{1}{ (r^2 + \rho^2) z - r \rho \left( z^2 + 1 \right)} \cdot \frac{\mathrm{d} z}{i} = \cualquier \frac{1}{ (r, z - \rho)(r - \rho z)} \cdot \frac{\mathrm{d} z}{i} = \frac{2 \pi}{| \rho^2 - r^2 |} $$

Answer 2

Me gustaría utilizar la mitad del ángulo de la sustitución; x=arctan (u), el trabajo como una función racional. Funcionó para mí de esta manera, también se convierte en un trigonométricas sustitución integral, los cuales siempre son fáciles de resolver.