Encuentra todos los enteros $m, n$ tales que $(562-5(m+n))(82-5(m-n))=98^2$

Question

Encuentra todos los enteros $m,n$ tales que $$(562-5(m+n))(82-5(m-n))=98^2.$$

¿Cuál es un método más simple para abordar esto? Conozco los resultados pero mi enfoque es un poco largo. Consideré cada posible factor de $98^2$ para obtener el resultado. Gracias.

Answer 1

De $562-5(m+n)=a, 82-5(m-n)=b$ se obtiene $m=\frac {644 -a -b}{10}, n=\frac {480-a + b}{10}$ por lo tanto $10 | (a-b)$ donde $a\cdot b = 98^2$. Hay 30 factorizaciones de $98^2$ en números enteros, simplemente filtra aquellas que no cumplan la condición $10 | (a-b)$, solo te quedarán algunas restantes.

Answer 2

Sea $a$ = $562 - 5(m + n)$ = $a$. Sea $b$ = $82 - 5(m - n)$ = $b$.

Ahora, verifica si el último dígito de $a$ es $2$ o $-8$ porque tiene que ser $(a - 562)$ % $5$ = $0$ donde $m, n$ $\in$ $Z$. Por lo tanto, debes verificar si solo $2$ o $-28$, $-98$, $1372$, $4802$ son uno de los factores de las combinaciones de $(2^2)$$$$(7^4)$.

Y, donde $a$: $-28$: ($-2^2$$7$), $b$: $-7^3$, donde $a$: $1372$:($2^2$$7^3$), $b$: $7$.

Ahora, $(-7^3 - 82)$ % $5$ ≠ $0$ donde $a = 1372$ y $b = 7. = $0$ no hará que $m$, $n$ $\notin$ $Z$ ya que $m = \frac{177}{2}$, $n = \frac{147}{2}$. Así que solo necesitas considerar $a = 2, -98, 4802$. Las respuestas son $(m, n) = (84, 48)$$[a = -98, b = -98]$, $(-416, 528)$$[a = 2, b = 4802]$, $(-416, -432)$$[a = 4802, b = 2]$.

Answer 3

$$(562-5S)(82-5D)=98^2=2^2\cdot7^4$$ El número $98^2$ tiene $15$ divisores, $$d\in\{1,2,4,7,14,28,49,98,196,343,686,1372,2401,4802,9604\}$$ Debido a que $82-5D=d\iff82-d=5D$, se sigue que los únicos divisores a considerar son $d\in\{2,7,1372,4802\}$.

Se siguen las posibilidades $$(D,S)\in\{(16,-848),(15,-162),(-162,15),(-848,16)\}$$

A partir de las cuales, la única solución es $\color{red}{(m,n)=(-416,-432)}$