Visualizar el Teorema del Homomorfismo Fundamental para $\phi: A_4 \rightarrow C_3$

Question

Pregunta 1. ¿Cómo ve usted $\ker\phi = V_4 $ = Grupo Klein 4 ? El libro no da la fórmula para $\phi$ ?
Pregunta 2. ¿Qué es $H$ en $i(aH) = \phi(a)$ ? Creo que $H = \ker\phi$ ?
Pregunta 3. ¿Por qué es $i: \frac{A_4}{\ker\phi} \to C_3$ definido como $i(aH) = \phi(a)$ ? ¿Por qué no $i(aH) = a$ ?

Esto es de la página 169 de la Teoría de los Grupos Visuales de Nathan Carter.

Pregunta 4. La página 167 dice Cuando $\phi$ no es una incrustación, en algún lugar debe colapsar dos elementos del dominio a un elemento de codominio. De hecho, como los mapas cocientes siguen un patrón de repetición, cada coset de $\ker\phi$ tendrá al menos dos elementos en él.

¿Puede alguien explicar esta última frase?

Answer 1

A menudo nos preguntamos si existe un homomorfismo entre dos grupos. Hay un método que se presta a ser más intuitivo. Y este método se ejemplifica con un ejemplo. Imaginemos un cuadrado (anclado de la forma habitual en $S^1$ si quieres). Dos grupos que actúan naturalmente en la plaza son $C_4$ y $D_{2\cdot 4}$ (orden 8). Ahora imagina las dos diagonales del cuadrado. Cada vez que se actúa sobre el cuadrado, se actúa también sobre estas diagonales. El grupo de automorfismo de estas diagonales es $C_2$ . Por lo tanto, existe un homomorfismo de $C_4$ a $C_2$ y un homomorfismo de $D_{2\cdot 4}$ a $C_2$ . Y podrías construir estos homomorfismos sobre los generadores viendo lo que hacen a las diagonales.

Este método se generaliza. Para determinar si existe un homomorfismo entre dos grupos, hay que tratar de encontrar una "estructura" sobre la que actúe naturalmente un grupo, y otra estructura que pueda construirse a partir de la primera estructura sobre la que actúe naturalmente el segundo grupo. En nuestro ejemplo, la primera estructura era el cuadrado y la segunda las diagonales.

Ahora podemos aplicar este principio a $S_4$ y $S_3$ . $S_4$ se suele considerar como las permutaciones del conjunto $T=\{1,2,3,4\}$ ---esta es nuestra primera estructura. Ahora construimos nuestra segunda estructura. Hay tres formas de dividir $T$ en pares de pares. Los enumeramos: $a_1=\{1,2\}\cup\{3,4\}$ , $a_2=\{1,3\}\cup\{2,4\}$ y $a_3=\{1,4\}\cup\{2,3\}$ . Ahora imagina el conjunto $H$ cuyos elementos son $a_1, a_2$ y $a_3$ . $S_3$ actúa naturalmente sobre $H$ . Y podemos ver que cada acción de $S_4$ en $T$ induce una acción sobre $H$ . Por ejemplo, tomemos el elemento $(1\;2)\in S_4$ . Entonces puede ver que $(1\; 2)$ induce un mapa que envía $a_1$ a $a_1$ , $a_2$ a $a_3$ y $a_3$ a $a_2$ . Este mapa corresponde a un mapa en $S_3$ . Y así es como se construye el homomorfismo. ¿Puedes ver el núcleo de este mapa? Es $V_4$ Los elementos $(1\;2)(3\;4)$ , $(1\;3)(2\;4)$ , $e$ y $(1\;4)(2\;3)$ .

EDITAR

Su mapa está construido de forma diferente. $A_4$ puede realizarse como los movimientos rígidos del tetraedro (sin incluir la reflexión). En el interior del tetraedro hay un octaedro que se mantiene con cada movimiento rígido del tetraedro. Y dentro del octaedro hay tres diagonales que se mantienen con cada movimiento rígido del octaedro. Así, cada movimiento rígido del tetraedro permuta estos tres segmentos de línea. Y esto da lugar a tu homomorfismo. Puedes realizar estos segmentos de línea de otra manera. Cada arista del tetraedro se opone a otra arista que es afinamente perpendicular a ella. Dibuja el segmento de línea de cada una de estas aristas en su punto medio.

Answer 2

El prueba estándar del Teorema de Lagrange muestra que todos los cosets de un subgrupo dado tienen la misma cardinalidad (tamaño). En el homomorfismo cociente $\phi$ descrito en su ilustración, el subgrupo $K = \ker \phi$ tiene $|K| > 1$ por lo que cada coset también lo hará.

Este es el argumento, brevemente. Si $g_1K$ y $g_2K$ son cosets de $K < G$ , entonces el mapa $x \mapsto g_2g_1^{-1}x$ es una biyección $g_1K \overset{\sim}{\to} g_2K$ .