Si usted tiene dos distintas loxodromic isometrías del plano hiperbólico $\gamma_1, \gamma_2$, que tienen un punto fijo en común. Por simplicidad, vamos a tomar la mitad de modelo de avión y dejar que el punto fijo en común ser $\infty$. Es el grupo de $\langle \gamma_1,\gamma_2\rangle$ cocompact? Es discreto? Me puede demostrar que si la traducción de la longitud de $|\gamma_1| = |\gamma_2|$, a continuación, el grupo contiene un elemento parabólico, por lo que sea no cocompact, o no es adecuado. Lo horrible que puede este grupo? Me gustaría ser capaz de demostrar que no es cocompact, pero estoy empezando a sospechar que podría ser.
Respuesta
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El grupo $\Gamma = \langle \gamma_1,\gamma_2\rangle$ no es discreto.
Para probar esto, considerar el "mapa de altura" $\mathbb{H}^2 \to \mathbb{R}$ definido por $f(x,y) = \ln(y)$. La inversa de imágenes de puntos de este mapa son los horocycles $y = \text{(constant)}$ todos basados en $\infty$, cada uno de los cuales se conserva por tanto $\gamma_1$$\gamma_2$, y por lo tanto no es un inducida por la acción de $\Gamma$$\mathbb{R}$, la `altura de desplazamiento". Deje $\delta_i$ denotar la altura de desplazamiento de $\gamma_i$. La "altura de desplazamiento", subgrupo $\langle\delta_1,\delta_2\rangle$ $\mathbb{R}$ puede ser discretos (infinito cíclica) o indiscreta (abelian de rango 2). En cualquier caso, dado $\epsilon>0$ existen distinto de cero enteros $m_1,m_2$ tales que el valor absoluto de a $\Delta_y = m_1\delta_1 + m_2 \delta_2$ es de menos de $\epsilon/2$ (en el caso de que la altura de los desplazamientos del grupo es cíclica, es decir, uno puede organizar ese $\Delta_y=0$).
Veamos ahora los puntos de $p = 0+1i$$\mathbb{H^2}$$q = \gamma_1^{m_1} \gamma_2^{m_2}(p)$, que están en la misma órbita. Su desplazamiento vertical es $\Delta_y < \epsilon/2$. Deje $\Delta_x$ ser la diferencia de su $x$-coordenadas, que todavía podría ser grande. Como $k \to +\infty$ de los puntos $\gamma_1^k(p)$, $\gamma_2^k(p)$ están conectados por la concatenación de un segmento horizontal cuya longitud $<C \Delta_x e^{-k}$ va a cero, seguido por un segmento vertical de longitud $\Delta_y <\epsilon/2$, y por lo $d(\gamma_1^k(p),\gamma_2^k(q)) <\epsilon$ de las grandes suficientemente $k$. Esto demuestra que $\Gamma$ no es discreto.
Por otro lado, $\Gamma$ es cocompact en el sentido fuerte de que existe un subconjunto compacto $B \subset \mathbb{H}^2$ cuyo traduce $\{\gamma B \mid \gamma \in \Gamma\}$ cubierta $\mathbb{H}^2$. Uno puede elegir este conjunto $B$ a ser un "horobrick", cuya apariencia es una $xy$-rectángulo en la mitad superior del plano, cuyos dos lados verticales son hiperbólicos geodésica segmentos y cuyos dos lados horizontales son horocylic segmentos. Simplemente elija $B$ que han esquina inferior izquierda contiene $p$ y la esquina superior derecha contiene $\gamma_2(q)$ (asumiendo $q$ tiene mayor $x$-coordinar de $p$).
