Aplicando las ecuaciones de Euler-Lagrange a la teoría de Maxwell

Question

En Prof. David Tong notas, específicamente en la página 10, se da el Lagrangiano de la teoría de Maxwell para ser

$$ \mathcal{L} = -\frac{1}{2}(\partial_\mu A_\nu)(\partial^\mu^\nu) + \frac{1}{2}(\partial_\mu^\mu)^2 $$

y, a continuación, se calcula de la siguiente

$$ \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu A_\nu)} = -\partial_\mu A_\nu + (\partial_\rho^\rho)\eta^{\mu\nu}. $$

Puedo ver cómo el primer término de la derivada se calcula, pero estoy teniendo problemas con el segundo término. Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Tenemos $\frac12 (\partial_{\mu}A^{\mu})^2 = \frac12 (\partial_{\alpha} A^{\alpha})(\partial_{\beta}A^{\beta})= \frac12 (\partial_{\alpha} A_{\sigma}) \eta^{\sigma\alpha}(\partial_{\beta}A_{\rho}) \eta^{\rho\beta}$ por lo que la escritura derivada $\partial_{\mu} A_{\nu}$ es

PS

donde he etiquetado libremente y reetiquetado índices ficticios.