¿El teorema del número primo y / o la hipótesis de Riemann predicen un límite en la precisión de esta fórmula para$\gamma$?

Question

Esta pregunta está relacionada con la siguiente fórmula de Euler constante de $\gamma$ donde $A$ es Glaisher constante.

(1) $\quad\gamma=12\,\log(A)-\frac{\pi^2}{6}\sum\limits_{n=1}^N\frac{\mu(n)}{n^2}\,\log\left(\frac{2\,\pi}{n}\right),\quad N\to\infty$

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El discreto parcela en la siguiente figura se muestra el error en la fórmula (1) como una función de la $N$. El rojo de la evaluación de los puntos que ilustran el error en la fórmula (1) donde la función de Mertens $M(N)=\sum\limits_{n=1}^N\mu(n)$ evalúa a cero.

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Figura (1): Error en la Fórmula (1) como una función de la $N$

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Pregunta: ¿el Teorema de los números Primos y/o Hipótesis de Riemann predecir un límite en la precisión de la fórmula (1) por $\gamma$ como una función de la $N$?

Answer 1

Sí y esto es supuestamente obvio. Si $$\sum_{n=1}^N \mu(n) n^{-2} \log(2\pi/n) = C+O(N^a)$$ then $$\log(2\pi)/\zeta(s+2) + \zeta'(s+2)/\zeta(s+2)^2= s \int_1^\infty (\sum_{2 \le n \le x} \mu(n) n^{-2} \log(2\pi/n)) x^{-s-1}dx$$ is holomorphic for $ \ Re (s)> ... $

Lo contrario es una cuestión de suma por partes para hacer que aparezca $\sum_{n=1}^N \mu(n)$ , así como los teoremas inversos sobre su crecimiento, suponiendo que RH