Ejemplo de un colector que solo tiene una curvatura de Ricci en una dirección

Question

Me preguntaba si alguien tenía un ejemplo simple de una variedad que solo tiene curvatura de Ricci en una dirección, es decir. de modo que el tensor de Ricci solo tiene un componente distinto de cero.

Intuitivamente, esperaría que tal cosa fuera posible de alguna manera solo por la definición de Ric pero no podría pensar en un ejemplo.

Answer 1

Sí, esto es posible. Más precisamente: En la dimensión $\geq 3$ existen métricas para que la curvatura de Ricci tiene rango $1$, es decir, que puede ser escrito (a nivel local, alrededor de cualquier punto) como $\phi \alpha \otimes \alpha$ por alguna función suave $\phi$ e $1$forma $\alpha$. (En la dimensión $2$ el tensor de Ricci es un (suave) múltiples de la métrica, por lo que este comportamiento sólo es posible en la dimensión $\geq 3$.)

Aquí es una manera de construir un ejemplo. El perverso producto de la plana métrica $\bar g := dx_1^2 + \cdots + dx_{n - 1}^2$ a $\Bbb R^{n - 1}$ con el plano métrico $dy^2$ a $\Bbb R$ través $f(y)$es $$g := \bar g \times_{f(y)} dy^2 = f(y) \bar g + dy^2 .$$

La informática da que la curvatura de Ricci $g$es $$\operatorname{Ric} = - \frac{2 f''(y) f(y) + (n - 1) f'(y)^2}{4 f(y)} \bar g - \frac{(n - 1)(2 f''(y) f(y) - f'(y)^2)}{4 f(y)^2} dy^2$$

Exigiendo que el coeficiente de $\bar g$ desaparecen define un segundo orden de la ecuación diferencial en $f$ con solución general $$f(y) = \left[\frac{n - 1}{2} (A y + B)\right]^{2 / (n - 1)},$$ y sustituyendo en $g$ da (ahora la restricción de la métrica en donde $A y + B > 0$) que $$\operatorname{Ric} = \frac{(n - 2) A^2}{(n - 1) (A y + B)} dy^2 .$$ Así que, si tomamos $A \neq 0$, entonces para $n > 2$, $\operatorname{Ric}$ tiene rango $1$.