Deje $U \subseteq \mathbb{R}^n$ ser abierto y denotan por $\mathcal{D}(U)$ el espacio de todos compacta admite las funciones lisas $U \to \mathbb{R}$. Deje $\mathcal{D}^\prime(U)$ ser el espacio de todas las distribuciones $\mathcal{D}(U) \to \mathbb{R}$ con el estándar de la topología.
Dada una distribución de $T$, me gustaría demostrar que no existe una secuencia $(\psi_n)$ en $\mathcal{D}(U)$ tales que \begin{equation}\label{eq:1}\tag{%#%#%} \lim_{n \to \infty} \left\langle \psi_n, \varphi \right\rangle = \left\langle T , \varphi\right\rangle \end{equation} para todos los $\ast$. Me interesé en esta pregunta, mientras que el párrafo siguiente de este artículo de la Wikipedia:
La prueba de funciones localmente integrables, y así definir las distribuciones. Como tales son densos en $\varphi \in \mathcal{D}(U)$ con respecto a la topología en $\mathcal{D}^\prime(U)$ en el sentido de que para cualquier distribución $\mathcal{D}^\prime(U)$, hay una secuencia $T \in \mathcal{D}^\prime(U)$ tales que $$ \left\langle \psi_n, \varphi \right\rangle \a \left\langle T, \varphi \right\rangle $$ para todos los $\psi_n \in \mathcal{D}(U)$. Este hecho se sigue de la de Hahn-Banach teorema, desde la doble vertiente de la $\varphi \in \mathcal{D}(U)$ con su débil*-topología es el espacio $\mathcal{D}^\prime(U)$.
Mi pregunta es la siguiente: ¿cómo es que esto siga de la de Hahn-Banach teorema? Entiendo por qué las $\mathcal{D}(U)$ cuando la primera está dada la débil*-topología, pero no puedo ver cómo \eqref{eq:1} se sigue de la de Hahn-Banach teorema.
