Tenemos que .

Question

Estoy pensando en la siguiente pregunta:

Deje $\phi= \frac{1+ \sqrt 5}{2}$ ser el cociente de oro, y definir: $$ \mathbb Z [\phi]=\{a+ b\phi : \quad a, b \in \mathbb Z\} $$ Queremos demostrar que para $a,b \in \mathbb Z$ tenemos que $a+ b\phi \in \mathbb Z[\phi]^* \iff a^2 +ab-b^2 = \pm 1$. Nota: la estrella indica el grupo multiplicativo de nuestro anillo.

Este ejercicio viene con una idea: que $\bar{\phi}=\frac{1-\sqrt 5}{2}$, Se puede utilizar sin la prueba de que $(a + b \phi)(c + d\phi) = 1$ si y sólo si $(a + b\bar{\phi})(c + d\bar{\phi}) = 1$.

Tengo problemas en la interpretación de cómo la sugerencia juega.

Answer 1

Para $z = a + b \phi$, escribimos $\overline{z} = a + b \overline{\phi}$.

Definir la función de $N: \mathbb{Z}[\phi] \rightarrow \mathbb{Z}$ por $N(z)=z \overline{z}$. Es fácil comprobar que $N(a+b \phi) = a^2 +ab -b^2 \in \mathbb{Z}.$

La proposición: $z \in \mathbb{Z}[\phi]$ es una unidad si, y sólo si, $N(z) \in \mathbb{Z}$ es una unidad.

Prueba:

($\Rightarrow$) Supongamos $(a+b\phi)(c+d\phi)=1$. La sugerencia que hemos $(a+b\overline{\phi})(c+d\overline{\phi})=1$, y así $$N(a+b\phi)N(c+d\phi) = (a+b\phi)(a+b\overline{\phi})(c+d\phi)(c+d\overline{\phi}) = 1.$$ Since $N(a+b + \phi)$, $N(c+d + \phi) \in \mathbb{Z}$, we must have either $$N(a+b\phi) = N(c+d\phi) = 1 \ \ \text{or} \ \ N(a+b\phi) = N(c+d\phi) = -1.$$

($\Leftarrow$) Supongamos que $N(a+b\phi) = (a+b\phi)(a+b\overline{\phi}) = (-1)^k, k\in \{ 0,1 \}$.

Queremos encontrar a $c,d \in \mathbb{Z}$ tal que $c+d\phi = a+b\overline{\phi}$. Por lo que escribir $$ c+d\phi = c+ \frac{1}{2} d + \frac{\sqrt{5}}{2} \equiv a + \frac{1}{2}b -\frac{\sqrt{5}}{2} = a+b\overline{\phi},$$ and equate coefficients in $\mathbb{Z} + \sqrt{5}\mathbb{Z}$ to get $c = a+b$ and $d=-b$. That is, we have $$(a+b\phi)((-1)^k (a+b) + (-1)^{k+1} b\phi) = 1.$$

$\hspace{18cm} \square$

Por lo tanto, dado $a+b\phi \in \mathbb{Z}[\phi]$, $$a+b\phi \in \mathbb{Z}[\phi]^* \Leftrightarrow a^2 +ab -b^2 = N(a+b\phi ) = \pm 1.$$

Answer 2

No veo cómo la sugerencia es de utilidad alguna en responder a la pregunta. Hay muchos enfoques diferentes, dependiendo de cuánto teoría está familiarizado con. Voy a dar un enfoque básico, suponiendo que muy poco de teoría.

Tenga en cuenta que para $a,b,c,d\in\Bbb{Z}$ tenemos $a+b\phi=c+d\phi$ si y sólo si $a=c$ e $b=d$. También tenga en cuenta que $\phi+\bar\phi=1$ e $\phi\bar\phi=-1$, lo que significa que ambos son raíces de $X^2-X-1$. Esto demuestra que $$\Bbb{Z}[\phi]\ \longrightarrow\ \Bbb{Z}[\phi]:\ a+b\phi\ \longmapsto\ a+b\bar\phi,$$ es un anillo automorphism de $\Bbb{Z}[\phi]$, a partir de la cual la sugerencia de la siguiente manera. No veo cómo la sugerencia es relevante, aunque.

También vemos que para cada $x\in\Bbb{Z}[\phi]$ existen únicas $a,b,a',b'\in\Bbb{Z}$ tales que $$x=a+b\phi=a'+b'\bar\phi.$$ Ahora si $a,b\in\Bbb{Z}$ son tales que $a^2+ab-b^2=\pm1$luego $$(a+b\phi)(a+b\bar\phi)=a^2+ab(\phi+\bar\phi)+b^2\phi\bar\phi=a^2+ab-b^2=\pm1,$$ lo que muestra que $a+b\phi\in\Bbb{Z}[\phi]^{\times}$ con $(a+b\phi)^{-1}=\pm(a+b\bar\phi)$.

Por el contrario, si $a,b\in\Bbb{Z}$ son tales que $a+b\phi\in\Bbb{Z}[\phi]^{\times}$ , a continuación, existen únicas $c,d\in\Bbb{Z}[\phi]$ tales que $$(a+b\phi)(c+d\phi)=1.$$ A continuación, $\gcd(a,b)=1$, y existen únicas $c',d'\in\Bbb{Z}$ tales que \begin{eqnarray*} 1&=&(a+b\phi)(c+d\phi)=(a+b\phi)(c'+d'\bar\phi) =ac'+ad'\bar\phi+bc'\phi+bd\phi\bar\phi. \end{eqnarray*} Debido a $\phi\bar\phi=-1$ e $\phi+\bar\phi=1$ se sigue que $$1=ac'+ad'\bar\phi+bc'\phi+bd'\phi\bar\phi=(ac'+ad'-bd')+(bc'-ad')\phi,$$ lo que implica que $bc'=ad'$. Debido a $\gcd(a,b)=1$ esto demuestra que $c'=\pm a$ e $d'=\pm b$, donde los dos signos de acuerdo. Por lo tanto $$1=(a+b\phi)(c+d\phi)=\pm(a+b\phi)(a+b\bar\phi)=\pm(a^2+ab-b^2).$$ Esto demuestra que para todos los $a,b\in\Bbb{Z}$ hemos $$a+b\phi\in\Bbb{Z}[\phi]^{\times}\qquad\iff\qquad a^2+ab-b^2=\pm1.$$