Así, sabemos $m$, $n$, y la bisectriz de un ángulo condición. $\frac{RS}{RQ} = \frac{n}{m}$ por la bisectriz de un ángulo, $RS+RQ$ es un número entero desde el perímetro, y tenemos el triángulo de la desigualdad de condiciones
$$|RS-RQ|< m+n < RS+RQ$$
Con que, vamos a dejar la geometría. Debemos señalar también las demás condiciones estipuladas en el problema: $n>m$ e $m+n$ es un múltiplo entero de $n-m$.
Deje $m+n=a(n-m)$ e $RS=bn$. A continuación, $RQ=bm$, y el triángulo de la desigualdad de las condiciones de convertirse en
$$b(n-m) < a(n-m),\quad m+n < b(n+m)$$
o, equivalentemente, $1 < b < a$. Sabemos $a$ es un número natural, sino $b$ podría ser cualquier cosa. Para estrechar abajo las posibilidades de $b$, se nota que $b(n+m)$ es un número entero. Es estrictamente entre $m+n$ e $a(m+n)$, lo que conduce a $(a-1)(m+n)-1$ posibilidades. Ahora, hemos creado esta igual a $m^2+2m-1$ y hacer algo de álgebra:
\begin{align*}(a-1)(m+n)-1 &= m^2 + 2m -1\\
\frac{(m+n)^2}{n-m} - (m+n) &= m^2+2m\\
(m+n)^2 - (n^2-m^2) &= m(m+2)(n-m)\\
2m^2+2mn &= m^2n -m^3 + 2mn - 2m^2\\
4m^2 &= m^2(n-m)\end{align*}
Y no, la respuesta $n-m=4$ cae.
¿Por qué hay sólo un número finito de posibles valores enteros para el perímetro? Es el triángulo de la desigualdad, junto con la bisectriz de un ángulo condición. En el extremo inferior para el perímetro, el triángulo degenera al segmento $QS$ remontar dos veces, $R=T$ y el perímetro es $2(m+n)$. En el extremo superior, el triángulo degenera al segmento $RS$ remontar dos veces, $RS=\frac{m+n}{n-m}\cdot TS$, y el perímetro es $\frac{2n(m+n)}{n-m}$.
Que $n-m$ en el denominador es también por qué tenemos que la condición de que $n-m$ divide $m+n$, por el camino. Si no tenemos la fuerza el máximo perímetro que ser un número entero, el conde se ensucia.
