Una aplicación de Kolmogorov $0$ - $1$ ley

Question

Necesito aprobar o desaprobar la siguiente declaración:

si $(X_n)_{n \in \mathbb {N}}$ es una secuencia de variables aleatorias independientes y distribuidas idénticamente, y $(u_n)_{n \in \mathbb {N}}$ es una secuencia de números reales tal que $$ \mathbb {P}( \limsup_n | \frac {1}{n} \sum_ {k=1}^nX_k-u_n|<+ \infty )>0$$

entonces $ \mathbb {P}( \limsup_n\frac {1}{n}|X_{2n+1}-X_{2n}|<+ \infty )=1$

Sé que por kolmogorov $0$ - $1$ ley (ya que $( \frac {1}{n}|X_{2n+1}-X_{2n}|)_{n \in \mathbb {N}}$ es una secuencia de variables aleatorias independientes), tenemos $ \mathbb {P}( \limsup_n\frac {1}{n}|X_{2n+1}-X_{2n}|<+ \infty )=0 \ \ or \ \ 1,$

Entonces, ¿qué valor tiene?

Answer 1

Supongamos que $P(\limsup_n \frac{1}{n}|X_{2n+1}-X_{2n}| < +\infty) < 1$ . Entonces el $X_n$ no son integrables. Sea $\Delta_n = nu_n-(n-1)u_{n-1}$ . Desde $(\sum_{k=1}^n X_k -nu_n)-(\sum_{k=1}^{n-1} X_k-(n-1)u_{n-1}) = X_n-\Delta_n$ basta con mostrar $\limsup_n \frac{|X_n-\Delta_n|}{n} = +\infty$ casi seguro. Así que basta con mostrar $\sum_{n=1}^\infty Pr(|X_n-\Delta_n| \ge nk) = +\infty$ para todos $k \ge 1$ . Es evidente que esto es cierto si $|\Delta_n|/n \to +\infty$ a lo largo de una subsecuencia, ya que hay algún $M$ con $Pr(|X_1| \le M) > 0$ . Así que podemos suponer $|\Delta_n| \le Cn$ para cada $n$ y entonces hemos terminado, ya que $\sum_{n=1}^\infty Pr(|X_n| \ge (C+k)n) = +\infty$ (ya que $E[|X_1|] = +\infty$ (véase la demostración de la primera parte del teorema 2.5.13 en el libro de Durrett).

Answer 2

Podemos demostrar $\mathbb{P}(\limsup_n \frac{1}{n} |X_{2n+1} - X_{2n}| < \infty) = 1$ si se sabe que las variables aleatorias son integrables.

Cuando las variables aleatorias son integrables, $u_n$ debe estar uniformemente acotado. Para ver esto, observe que \begin {equation*} | \frac {1}{n} \sum_ {i=1}^n X_i - u_n| \geq |n| - || \frac {1}{n} \sum_ {i=1}^n X_i| \end {equation*} Si $u_n$ fueran ilimitadas, por la ley del gran número tendríamos \begin {equation*} \limsup_n | \frac {1}{n} \sum_ {i=1}^n X_i - u_n| \geq \limsup_n |n| - || \mathbb {E}[X_i]| = \infty \N -, \N -, a.s. \end {equation*} que se contradice con la suposición.

Además, la probabilidad de interés no puede ser cero. En caso contrario, $\limsup_n \frac{1}{n} | X_{2n+1} - X_{2n} | = \infty$ casi con seguridad, y mostramos que esto resulta en una contradicción. Escriba $S_n := \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ . Tenemos \begin {align*} \frac {1}{n} | X_{2n+1} - X_{2n} | &= \frac {1}{n} | (2n+1) S_{2n+1} - 2n S_{2n} | \\ & \leq \frac {2n+1}{n} |S_{2n+1} - u_{2n+1}| + 2 |S_{2n} - u_{2n}| + (2+ \frac {1}{n}) |u_{2n+1}| + 2|u_{2n}| \end {align*} Tomando el límite en ambos lados se obtiene \begin {equation*} \limsup_n \frac {1}{n} |X_{2n+1} - X_{2n}| \leq 4 \limsup_n |S_n - u_n| + 4 \sup_ {n} |u_n| \end {equation*} Esto implica que $\limsup_{n} |S_n - u_n| = \infty$ casi con seguridad, una contradicción con el supuesto.