Sea$K$ una extensión de un campo$F$ tal que$[K:F] = 13$. Supongamos que$a$$∈$$K-F$%. ¿Cuál es el valor de% #%? #%?

Question

Ya que 13 es primo y podemos escribir $[K:F]$% #% # $=$ $[K:F(a)]$% , creo que la respuesta debería ser 1 o 13.

Answer 1

Así que es $13$ ya que $F(a)$ no es $F$

Answer 2

Nos cuenta que la $a \in K \setminus F$ implica

$a \notin F; \tag 0$

pero claramente

$F \subset F(a) \subset K; \tag 1$

así pues, tenemos en general

$[K:F] = [K:F(a)][F(a):F]; \tag 2$

dado que

$[K:F] = 13, \tag 3$

(2) se convierte en

$[K:F(a)][F(a):F] = 13; \tag 4$

desde $13$ es el primer encontramos así

$[F(a):F] \in \{1, 13 \}; \tag 5$

ahora si

$[F(a):F] = 1, \tag 6$

de ello se desprende que $a \in F(a)$ e $1 \in F$ son linealmente dependientes sobre $F$, por lo que existen

$\alpha, \beta \in F, \tag 7$

no ambos cero, con

$\alpha a + \beta = 0; \tag 8$

si ahora

$\alpha = 0, \tag 9$

entonces

$\beta = 0, \tag{10}$

lo que contradice nuestra suposición de que al menos uno de $\alpha$, $\beta$ no desaparece; por lo tanto,

$\alpha \ne 0 \Longrightarrow a = \alpha^{-1}\beta \in F \Rightarrow \Leftarrow a \notin F; \tag{11}$

por lo tanto (6) es imposible, la única opción distinta a $[F(a):F] = 1$ permitido por la (5) es, entonces,

$[F(a):F] = 13. \tag{12}$