Cero divisores de$\mathbb{Z}_{7}[x] / (x^4+x^3-3)$ y elemento inverso de$\overline{x+1}$

Question

Cuántos divisores de cero no están en el ring $\mathbb{Z}_{7}[X] / (x^4+x^3-3)$?

¿Cuál es el elemento inverso de a$\overline{x+1}$?

No estoy seguro de por dónde empezar, así que pensé que podría ser una buena idea comenzar con una definición básica:

Cero divisor se define como un elemento $a\not = 0$ de un anillo de $R$ si $\exists b\not = 0$ tal que $ab=0$ o $ba=0$.

Entonces traté de obtener una idea de qué elementos de $\mathbb{Z}_{7}[x] / (x^4+x^3-3)$ debe ser similar. Deben ser las clases de los restos de la Euclidiana división por $(x^4+x^3-3)$, así que creo que mi anillo debe tener este aspecto: $$\mathbb{Z}_{7}[x] / (x^4+x^3-3) = \{ [a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3] : a_i \in \mathbb{Z}_{7} \}.$$ Esto es correcto?

En este punto no estoy seguro de a dónde ir. Puede alguien por favor me guía a través de todo el proceso o al menos darme algunos consejos?

Answer 1

Respondo asumiendo $\mathbb Z_7$ es el campo finito de $7$ elementos. El polinomio $f=x^4+x^3-3$ factores $(x + 4) (x + 5) (x^2 + 6x + 3)$ a irreducibles. Así que por el Teorema del Resto Chino tenemos $$\mathbb Z_7[x]/(f) \cong \mathbb Z_7[x]/(x+4)\times \mathbb Z_7[x]/(x+5) \times \mathbb Z_7[x]/(x^2+6x+3)\cong \mathbb Z_7\times \mathbb Z_7\times \mathbb F_{49},$$ where $\mathbb F_{49}$ is the finite field with $49$ elements. The zero divisors are the preimages of $(x,y,z)$ with at least one of $x,y,z$ es cero.

Tener descripción explícita, es necesario anotar el CRT fórmula.

Edit: pensé que la pregunta era para encontrar los divisores de cero. Para calcular cuántos hay, se nota que en un número finito de anillo de un elemento distinto de cero $x$ es invertible o un divisor de cero (ya que la multiplicación por$x$ mapa es inyectiva y, por tanto, de la finitud también surjective, por lo tanto invertible, o tiene un no-trivial kernel y por lo que el elemento es cero divisor). Ahora un elemento es invertible si y sólo si a es invertible, en cada uno de los componentes en la factorización anterior. Así que tenemos $6*6*48= 1728$ invertibles y $7^4-1728-1= 672$ cero cero divisores.

Answer 2

Para la segunda pregunta, tenga en cuenta que $ x ^ 4 + x ^ 3 - 3 = x ^ 3 (x + 1) -3 $ .